Формулы длины: Длина окружности

Формулы длины дуги. Длина дуги формула.

• Альфашкола
• Статьи
• Формулы длины дуги

        Длина дуги – это расстояние вдоль части окружности, которая образует дугу. \(NM-\)длина дуги.

Измерение дуги в градусах

         Длину окружности можно рассчитать следующим образом. Надо вычислить длину окружности, а затем умножить на меру дуги и

         разделить  полученный результат на \(360°\). Не забываем мера дуги равна величине центрального угла. Формулы длины дуги окружности:

   \(L=\frac{2π r n}{​​360°}=\frac{π r n}{180°} \)

         где \(r\)-радиус окружности, а \(n\)-мера дуги (или центрального угла) в градусах.

 

Радиус дуги r:

Центральный угол в радиусах n:

 

---

Если измерение дуги (или центрального угла) задано в радианах, то формула для длины дуги окружности является произведением радиуса и измерения дуги.

 

\(L= r × n\)

Радиус дуги r:

Мера дуги n:

 

где \(r\)-радиус окружности, а \(n\)-мера дуги (или центрального угла) в градусах.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Андрей Александрович Якунин

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Петрозаводский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Алексей Николаевич Нехорошкин

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Северо-Осетинский государственный университет им.

К. Л. Хетагурова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Светлана Николаевна Комашко

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Минский государственный лингвистический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

• Математика
• Репетитор по физике
• Репетитор по химии
• Репетитор по русскому языку
• Репетитор по английскому языку
• Репетитор по обществознанию
• Репетитор по истории России
• Репетитор по биологии
• Репетитор по географии
• Репетитор по информатике

Специализации

• Репетитор по олимпиадной математике
• Репетитор по геометрии
• Репетитор по химии для подготовки к ЕГЭ
• Репетитор по грамматике английского языка
• Репетитор для подготовки к ЕГЭ по истории
• Репетитор для подготовки к ВПР по обществознанию
• Репетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
• Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
• Репетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
• Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ

Похожие статьи

• Задачи на движение: по течению и против
• Как перевести квадратные метры в квадратные сантиметры или квадратные дециметры
• Как разделить число на дробь
• Институт Ядерной Физики и Технологий (НИЯУ МИФИ)
• Иррациональные неравенства
• Задачи на координатной решетке. Базовый уровень ЕГЭ
• Топ-5 бесплатных математических игр для Android
• 10 техник самообладания, чтобы не срываться по мелочам

Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Длина окружности — формула, как ее найти

Обновлено 22 июля 2021 Просмотров: 180 266 Автор: Дмитрий Петров

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня у нас очередная математическая тема. Ее проходят в 6-м классе. Называется она – ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ.

Эта важная величина для решения многих задачек. В том числе и во время Единого госэкзамена.

Так что наша статья будет крайне полезна школьникам-выпускникам. А для всех остальных это хороший повод освежить свои знания.

Что такое окружность

Но для начала напомним, что называют окружностью.

Окружность – это кривая замкнутая линия, которая состоит из множества точек. И эти точки находятся на одном расстоянии от центра окружности.

Определение несколько «тяжеловатое», но это официальная формулировка, которая также приводится в школьных учебниках. Графически все выглядит гораздо проще.

Вот пример окружности, у которой все точки на кривой «С» равноудалены от центра «О».

Кстати, расстояние от центра до границы окружности называется радиус и обозначается он буквой «R».

А отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через ее центр – это диаметр «D». И, как всем известно, диаметр – это два сложенных радиуса (D = 2R).

Интересный факт! Точка тоже является в некотором роде окружностью. В математике ее называют «окружностью нулевого радиуса».

А чтобы начертить правильную окружность, нужно воспользоваться специальным прибором – циркулем. Им же можно нарисовать и окружность нужного радиуса.

Длина окружности через диаметр

Зачем мы так подробно рассказали о самой окружности, ее радиусе и диаметре? Все просто – без них не обойтись при расчете длины окружности.

Эту зависимость заметили еще в Древнем Египте. Тогдашние математики были весьма продвинуты в различных инженерных расчетах. Достаточно вспомнить, насколько надежно построены пирамиды. Им более 5 тысяч лет, а кажется, что простоят еще столько же и даже больше.

Так вот, египтяне определили, что соотношение длины окружности и ее диаметра – величина постоянная.

Другими словами, если взять совершенно разные по размерам окружности, а потом поделить их длины на их же диаметры, то получится одно и то же число.

У египтян это было число 3. Но впоследствии было получено более точное значение, которое равно 22/7 или 3 целых и 1/7.

Так появилась математическая постоянная «ПИ». Сейчас это один из столпов науки, с помощью которого решаются многие задачи.

Кстати, само название «пи» происходит от греческого слова «περιφέρεια», что как раз переводится как окружность. А «περίμετρος» — это диаметр.

Этими обозначениями и воспользовался математик Леонард Эйлер, когда в 1737 году представил научному сообществу число «пи», обозначив его изначально буквой выше упомянутых слов.

И сейчас уже каждый школьник знает, что число «пи» равно 3,14. Это значение взято за базовое, хотя на самом деле в нем бесконечное количество знаков после запятой.

Формула длины окружности

Ну а теперь главный вывод из этого исторического экскурса. Согласно вычислениям еще древнеегипетских ученых, формула длины окружности выглядит так:

Но чаще всего эту формулу принято писать без знаков умножения:

Формула эта единственная. И других возможностей рассчитать длину окружности — нет. Хотя ее можно представить, как диаметр умноженный на ПИ, но это уже банальность.

Вот и все, что мы хотели рассказать по этой теме, а более подробно смотрите в приведенном видеоролике:

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

• Математика

Длина дуги – формула, как найти длину дуги

Длину дуги лучше определить как расстояние вдоль части окружности любого круга или любой кривой (дуги). Любое расстояние вдоль изогнутой линии, образующей дугу, называется длиной дуги. Часть кривой или часть окружности окружности называется Дугой. Все они имеют кривую форму. Длина дуги больше, чем любое расстояние по прямой линии между ее концами (хорда).

В частности, длина дуги окружности радиуса r, образующей угол θ в центре, рассчитывается по формуле rθ × (π/180), если угол выражен в градусах, а если угол выражен в радианы, тогда длина дуги равна rθ. Давайте посмотрим, как вывести эти формулы.

1.	Что такое длина дуги?
2.	Формула длины дуги
3.	Как найти длину дуги кривой?
4.	Часто задаваемые вопросы о длине дуги

Что такое длина дуги?

Длина дуги определяется как промежуток между двумя точками на участке кривой. Дуга окружности – это любая часть окружности. Угол, образуемый дугой в любой точке, — это угол, образованный между двумя отрезками, соединяющими центр с конечными точками дуги. Например, в окружности, показанной ниже, OP — это дуга окружности с центром Q. Длина дуги этой дуги OP равна L.

Формула длины дуги

Чтобы вывести формулу длины дуги, вспомним, какова длина полной окружности, радиус которой равен r. Это 2πr. Но дуга — это всего лишь часть (на самом деле часть) всей окружности. Мы знаем, что угол в центре полной окружности равен 360°.

Если угол, образуемый дугой, равен θ°, то это означает, что дуга занимает долю θ/360 от общей окружности. Таким образом:

Длина дуги = θ/360 из 2πr = θ/360 × 2πr = rθ × π/180.

Это формула длины дуги, когда угол выражен в градусах. Длину дуги можно рассчитать по разным формулам, исходя из единицы центрального угла дуги. Измерения центрального угла могут быть даны в градусах или радианах, и соответственно мы вычисляем длину дуги окружности.

Если θ в радианах, то угол в градусах = θ × 180/π. Подставив это в приведенную выше формулу,

Длина дуги = rθ × π/180 × 180/π = rθ.

Таким образом, формула дуги окружности равна радиусу окружности, умноженному на θ, если угол выражен в радианах.

Формула длины дуги может быть выражена следующим образом:

длина дуги, L = θ × r, когда θ выражено в радианах;

длина дуги, L = θ × (π/180) × r, где θ в градусах,

где,

• L = длина дуги
• θ = центральный угол дуги
• r = радиус окружности

Формула длины дуги в радианах

Длина дуги окружности может быть рассчитана с использованием различных формул, основанных на единице измерения центрального угла дуги. Формула длины дуги в радианах может быть выражена следующим образом:

Длина дуги = θ × r

, где

• L = длина дуги
• θ = Центральный угол дуги в радианах
• r = радиус окружности

Как найти длину дуги кривой?

Длина дуги окружности может быть рассчитана с использованием различных методов и формул на основе заданных данных. Некоторые важные случаи приведены ниже,

• найти длину дуги по радиусу и центральному углу
• найти длину дуги без радиуса
• найти длину дуги без центрального угла

Как найти длину дуги по радиусу и центральному углу?

Длину дуги окружности можно рассчитать с помощью радиуса и центрального угла, используя формулу длины дуги:

• Длина дуги = θ × r, где θ в радианах.
• Длина дуги = θ × (π/180) × r, где θ в градусах.

Как найти длину дуги без радиуса?

Длину дуги окружности можно рассчитать без радиуса, используя:

Центральный угол и площадь сектора:

• Формула площади сектора: (θ/360º) × πr ² , если θ в градусах (или) (1/2) r ² θ, если θ в радианах.
• Используйте эту формулу и найдите радиус ‘r’. Нам нужно использовать квадратный корень в этом процессе.
• Затем найдите длину дуги по соответствующей формуле.

Пример: Рассчитайте длину дуги кривой с площадью сектора 25 квадратных единиц и центральным углом, равным 2 радианам.

Имеем,

Площадь сектора = 25 ед.

Шаг 2: Это дает r ² = 25. Извлекая квадратный корень с обеих сторон, r = 5.

Шаг 3: Длина дуги = rθ = 5 × 2 = 10 шт.

Таким образом, длина дуги = 10 единиц

Центральный угол и длина хорды:

• Формула длины хорды: 2r sin (θ/2).
• Используйте эту формулу и найдите радиус ‘r’.
• Тогда легко найти длину дуги по подходящей формуле.

Пример : Вычислить длину дуги кривой, концы которой касаются хорды окружности размером 5 единиц. Центральный угол, образуемый дугой, равен 2 радианам.

Имеем,

Длина хорды = 5 единиц

Центральный угол = 2 радиана

• Шаг 1: Длина хорды = 5 ⇒ 2r sin (2/2) = 5
• Шаг 2: 2r sin (1) = 5 ⇒ r = 5 / (2 × sin 1) = 2,97 единицы
• Шаг 3: Длина дуги = радиус × центральный угол = 2,97 × 2 = 5,94 единицы

Таким образом, длина дуги = 5,94 единицы

Как найти длину дуги без центрального угла?

Длину дуги окружности можно рассчитать без угла, используя:

Радиус и площадь сектора :

• Подставьте значения радиуса и площади сектора в формулу площади сектора.
• Решите для центрального угла.
• Найдите длину дуги.

Пример: Рассчитайте длину дуги кривой с площадью сектора 25 квадратных единиц и радиусом 2 единицы.

Имеем,

Площадь сектора = 25 единиц

Центральный угол = 2 единицы

• Шаг 1: Площадь сектора = 25 ⇒ (1/2) (2) ² θ = 25,
• Шаг 2: Решая приведенное выше уравнение, мы получаем θ = 12,5 радиан.
• Шаг 3: Длина дуги = радиус × центральный угол = 2 × 12,5 = 25 единиц

Таким образом, длина дуги = 25 единиц

Радиус и длина хорды:

• Подставьте значения радиуса и длины хорды в формулу длины хорды.
• Затем найдите центральный угол.
• Рассчитать длину дуги.

Пример : Вычислить длину дуги кривой, концы которой касаются хорды окружности размером 3 единицы. Радиус круга равен 2 единицам.

Имеем,

Длина хорды = 5 единиц

Центральный угол = 2 единицы

• Шаг 1: Длина хорды = 3 ⇒ 2(2) sin (θ/2) = 3
• Шаг 2: Решая это, получаем: sin (θ/2) = 0,75 ⇒ θ/2 = sin ^-1 (0,75) = 0,848 ⇒ θ = 1,696.
• Шаг 3: Длина дуги = радиус × центральный угол = 2 × 1,696 = 3,392 единицы

Таким образом, длина дуги = 3,392 единицы

☛ Важные примечания по дуге окружности:

Ниже приведены основные моменты концепции длины дуги.

• Длина дуги = θ × r, где θ в радианах.
• Длина дуги = θ × (π/180) × r, где θ в градусах.

☛ Темы, связанные с длиной дуги

Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, связанными с длиной дуги, чтобы лучше понять тему.

• Калькулятор длины дуги
• Калькулятор дуги окружности

 

Примеры длины дуги

1. Пример 1: Найдите длину дуги окружности, отсеченной центральным углом 4 радиана в окружности радиусом 6 дюймов.

   Решение:

   Центральный угол, θ = 4 радиана, радиус, r = 6 дюймов. Используйте формулу длины дуги: L = θ × r = 4 × 6 = 24 дюйма.

   Ответ: ∴ Длина дуги (PQ) = 24 дюйма

2. Вопрос 2: Радиус окружности составляет 14 единиц, а дуга стягивается в центре на 65°. Какова длина дуги с использованием длины окружности?

   Решение: Мы знаем, что

   Длина окружности = 2πr

   C = 2π × 14 = 28π

   длина дуги = (θ/360) × C = (65°/360°)28π = 15,882 единицы

   Ответ: длина дуги = 15,882 единицы.

3. Пример 3: Рассчитайте длину дуги, отсеченной центральным углом θ = 40º в окружности с радиусом 4 дюйма.

   Решение:

   Радиус, r = 4 дюйма, θ = 40º. Используйте формулу длины дуги: L = π × (r) × (θ/180º) = π × (4) × (40º/180º) = 2,79дюймы.

   Ответ: ∴ Длина дуги данного круга = 2,79 дюйма

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по длине дуги

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о длине дуги

Что такое дуга окружности?

Дуга окружности определяется как длина части окружности, которая лежит между любыми двумя точками на ней. т. е. дуга окружности — это любая часть окружности. Угол, образуемый дугой в любой точке, — это угол, образованный между двумя отрезками прямой, соединяющими эту точку с конечными точками дуги.

Что такое формула длины дуги окружности?

Формула длины дуги окружности включает ее радиус (r) и центральный угол (θ). Обозначается буквой L и рассчитывается как

• по формуле L = rθ × (π/180), если θ выражено в градусах
.
• формула с использованием L = rθ, если θ выражена в радианах

Как найти длину дуги без радиуса?

Чтобы найти длину дуги, нам обязательно нужны радиус окружности и центральный угол. Но когда радиус не указан, то можно было бы указать либо площадь сектора, либо длину хорды. Используйте следующие формулы для определения радиуса, а затем примените формулу длины дуги.

• Площадь сектора = (θ/360º) × πr ² , если θ в градусах (или) (1/2) r ² θ
• Длина хорды = 2r sin (θ/2)

Что вы понимаете под уравнением длины дуги?

Есть два уравнения, связанные с длиной дуги. Ниже приведены два уравнения длины дуги.

• Длина дуги = θ × r, где θ в радианах.
• Длина дуги = rθ × (π/180), где θ в градусах

Как рассчитать длину дуги в радианах?

Длину дуги можно рассчитать, если центральный угол задан в радианах, используя формулу дуги окружности: Длина дуги = θ × r, когда θ выражено в радианах.

• L = длина дуги
• θ = Центральный угол дуги
• r = радиус окружности

Должна ли длина дуги быть в радианах?

Нет, длина дуги не может быть указана в радианах. Это измерение расстояния, поэтому не может быть в радианах. Центральный угол, стягиваемый в центре, может быть выражен в радианах, градусах или угловых секундах соответственно.

Как найти длину окружности дуги?

Если длина дуги (L) дана с центральным углом θ, то длина окружности (C) рассчитывается по уравнению L / C = θ/360º.

Какова длина большой дуги с использованием формулы длины дуги?

Большая дуга в окружности больше, чем полуокружность. Центральный угол больше 180°. Используя формулу ℓ = rθ, мы можем найти длину дуги окружности, где θ в радианах.

Калькулятор длины дуги

Создано Bogna Szyk

Отзыв Стивена Вудинга и Джека Боуотера

Последнее обновление: 08 января 2023 г.

Содержание:

• Формула длины дуги площадь дуги и сектора: пример
• Часто задаваемые вопросы

Этот калькулятор длины дуги представляет собой инструмент, который может рассчитать длину дуги и площадь сектора круга. В этой статье подробно объясняется формула длины дуги и приводятся пошаговые инструкции о том, как найти длину дуги. Вы также узнаете уравнение площади сектора.

Если вы новичок в кругах, вычисление длины и площади секторов может быть немного сложным, и вам нужно начать с более простых инструментов, таких как длина круга и окружность и площадь круга калькуляторы.

Формула длины дуги

Длина дуги зависит от радиуса окружности и центрального угла θ . Мы знаем, что для угла, равного 360 градусам (2π), длина дуги равна длине окружности. Следовательно, поскольку пропорция между углом и длиной дуги постоянна, мы можем сказать, что:

L / θ = C / 2π

as окружность C = 2πr ,

L / θ = 2πr / 2π

l / θ = R

L / θ = R
We Seecula wherula Whe Erarcula. умножив это уравнение на θ:

L = r * θ

Следовательно, длина дуги равна радиусу, умноженному на центральный угол (в радианах).

Площадь сектора круга

Аналогичным образом можно найти площадь сектора круга. Мы знаем, что площадь всего круга равна πr². Из пропорций

A / θ = πr² / 2π

A / θ = r² / 2

Формула площади сектора:

A = r² 3 09 * θ9 2 0 9 длина дуги и площадь сектора: пример

1. Определите радиус окружности. Например, она может быть равна 15 см. (Вместо этого вы также можете ввести диаметр в калькулятор длины дуги.)
2. Какой будет угол между концами дуги? Допустим, он равен 45 градусам, или π/4.
3. Рассчитайте длину дуги по приведенной выше формуле: L = r * θ = 15 * π/4 = 11,78 см .
4. Вычислите площадь сектора: A = r² * θ / 2 = 15² * π/4 / 2 = 88,36 см² .
5. Вы также можете использовать калькулятор длины дуги, чтобы найти центральный угол или радиус окружности. Просто введите любые два значения в соответствующие поля и посмотрите, как он проведет все расчеты за вас.

Не забудьте также воспользоваться калькулятором уравнения окружности!

Часто задаваемые вопросы

Как найти длину дуги без радиуса?

Чтобы рассчитать длину дуги без радиуса, вам нужен центральный угол и площадь сектора :

1. Умножьте площадь на 2 и разделите результат на центральный угол в радианах.
2. Найдите квадратный корень из этого деления.
3. Умножьте этот корень на центральный угол еще раз, чтобы получить длину дуги.
4. Единицы будут квадратным корнем из единиц площади сектора.

Или центральный угол и длина хорды :

1. Разделить центральный угол в радианах на 2 и применить к нему функцию синуса.
2. Разделите длину хорды на удвоенный результат шага 1. Это вычисление даст вам радиус.
3. Умножьте радиус на центральный угол, чтобы получить длину дуги.

Как найти длину дуги в радианах?

1. Умножьте центральный угол в радианах на радиус окружности.
2. Вот оно! Результатом является просто это умножение.

Как рассчитать длину дуги без учета угла?

Чтобы рассчитать длину дуги без угла, вам нужен радиус и площадь сектора :

1. Умножьте площадь на 2.
2. Затем разделите результат на квадрат радиуса (убедитесь, что единицы измерения совпадают), чтобы получить центральный угол в радианах.

Или вы можете использовать радиус и длину хорды :

1. Разделите длину хорды на удвоенный радиус.
2. Найдите арксинус результата (в радианах).
3. Удвойте результат обратного синуса, чтобы получить центральный угол в радианах.
4. Получив центральный угол в радианах, умножьте его на радиус, чтобы получить длину дуги.

Должна ли длина дуги быть в радианах?

Длина дуги является мерой расстояния, поэтому она не может быть выражена в радианах . Однако центральный угол не обязательно должен быть в радианах. Это может быть любая единица измерения углов, от градусов до угловых секунд. Использование радианов , однако, гораздо проще для вычислений относительно длины дуги, так как найти его так же просто, как умножить угол на радиус.

Bogna Szyk

Центральный угол (θ)

Радиус (R)

Диаметр

Область сектора (A)

Длина хорда (C)

Длина дуги

Длина дуга (L)

.