Среднее и действующее значение синусоидального тока: Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины

Среднее и действующие значения синусоидальных токов и напряжений

Действующее значение переменного тока – это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе. 

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее значение тока

т. е. среднее значение синусоидального тока составляет  от амплитудного. Аналогично, 

Широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или среднеквадратичным). Действующее значение тока

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично,

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна  Приравняем их:

Таким образом, действующее значение синусоидального тока  численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Для установления эквивалентности переменного тока в отношении энергии и мощности, общности методов расчета, а также сокращения вычислительной работы изменяющиеся непрерывно во времени токи. ЭДС и напряжения заменяют эквивалентными неизменными во времени величинами. Действующим или эквивалентным значением называется такой неизменный во времени ток, при котором выделяется в резистивном элементе с активным сопротивлением r за период то же количество энергии, что и при действительном изменяющемся синусоидально токе.

Энергия за период, выделяющаяся в резистивном элементе при синусоидальном  токе,

При неизменном во времени токе энергия

W = I²rT

Приравняв правые части

получим действующее значение тока

Таким образом, действующее значение тока меньше амплитудного в √2 раз.

Аналогично определяют действующие значения ЭДС и напряжения:

Е = E_m /√2,    U = U_m /√2.

Действующему значению тока пропорциональна сила, действующая на ротор двигателя переменного тока, подвижную часть измерительного прибора и т. д. Когда говорят о значе­ниях напряжения, ЭДС и тока в цепях переменного тока, имеют в виду их действующие значения. Шкалы измерительных приборов переменного тока отградуированы соответственно в действующих значениях тока и напряжения. Например, если прибор показывает 10 А, то это значит, что амплитуда тока

I_m = √2I = 1,41 • 10 = 14,1 A,

и мгновенное значение тока

i = I_m sin (ωt + ψ) = 14,1 sin (ωt + ψ).

При анализе и расчет выпрямительных устройств пользуются средними значениями тока, ЭДС и напряжения, под которыми понимают среднее арифметическое значение соответствующей величины за полпериода (среднее значение за период, как известно, равно нулю):

Аналогично можно найти средние значения тока и напряжения:

I_ср = 2I_т /π;    U_ср = 2U_т /π.

Отношение действующего значения к среднему значению какой-либо периодически изменяющейся величины называется коэффициентом формы кривой. Для синусоидального тока

2.6. Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных величин

В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи также синусоидальны:

i = I_msin(wt + y_i),

где w — угловая частота; y_i — начальная фаза; I_m — максимальное значение (амплитуда) тока.

Средним значением синусоидальной величины считают ее среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю. Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю:

(2.16)

Среднее значение тока измеряется приборами магнитоэлектрической системы, измерительная цепь которых содержит выпрямитель тока.

Синусоидальный ток в резистивном элементе с сопротивлением r вызывает нагрев этого элемента из-за выделения тепловой энергии. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно получить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока.

При синусоидальном токе за один период Т в резистивном элементе с сопротивлением г выделяется тепловая энергия

где i — мгновенное значение синусоидального тока.

По определению действующего значения синусоидального тока такое же количество тепловой энергии в том же резистивном элементе должно выделяться при постоянном токе за тот же интервал времени Т:

W_T = rI²T. Следовательно,

откуда находим действующее значение синусоидального тока:

(2.17)

Таким образом, действующее значение синусоидального тока определяется как среднее квадратичное за период. На рис. 2.8 показаны синусоидальный ток i, изменение во времени квадрата тока i² и графическое определение значения I² (из равенства площадей I²T = fi²dt), а тем самым и действующего значения I.

Для синусоидального тока нетрудно определить действующее значение через амплитудное:

FORMULY!

и так как FORMULA то

(2. 18)

Действующее значение выбрано в качестве основной характеристики синусоидального тока потому, что в большом числе случаев его действие пропорционально квадрату этого значения, например тепловое действие, взаимодействие прямого и обратного проводов двухпроводной линии и т.д.

Аналогично для любой другой синусоидальной величины a = A_msin(wt + y) (ЭДС, напряжение, магнитный поток и т. д.) среднее значение

A_ср = 2A_m/p == 0,637A_m; (2.19a) действующее значение

FORMULA! (2.19б)

Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений во времени, в виде вращающихся векторов и, наконец, в виде комплексных чисел.

В § 2.5 и 2.6 уже применялись представления синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций, например (2. 14), (2.15), и в виде графика изменений во времени (рис. 2.6).

Теперь рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин в виде вращающихся векторов и комплексных чисел.

А. Представление синусоидальных величин вращающимися векторами. Для представления синусоидально изменяющейся величины

а = A_msin(wt + y)

с начальной фазой y вращающимся вектором построим (рис. 2.9, а) радиус-вектор А_m этой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде А_m, и под углом y к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времени t = 0.

Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью и против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равна A_msin(wt + y). По значениям этих величин можно построить график зависимости синусоидальной величины от фазы wt или от времени t. Такое построение приведено дня некоторых значений t на рис. 2.9,б.

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.

Б. Представление синусоидальных величин комплексными числами. От представления синусоидальных величин вращающимися радиусами-векторами нетрудно перейти к представлению синусоидальных величин комплексными числами.

Для того чтобы представить синусоидальную величину

а = A_msin(wt + y) (2.20)

с начальной фазой y комплексным числом, проведем на комплексной плоскости (рис. 2.10) из начала координат под углом y к оси действительных величин и чисел вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде А_m синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число — комплексная амплитуда синусоидальной величины:

FORMULA!

Так же обозначается и соответствующий комплексной амплитуде вектор на комплексной плоскости.

При увеличении во времени фазы wt + y синусоидальной величины угол между вектором и осью действительных величин растет, т. е. получается вращающийся вектор

A_me^{j(wt + y)} = A_mcos(wt + y) =jA_msin(wt + y).

Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине (2.20).

По существу представление синусоидальной величины комплексной амплитудой А_m и соответствующим ей вектором на комплексной плоскости геометрически подобно представлению той же синусоидальной

величины вращающимся радиусом-вектором А_m в момент времени t = 0 (рис. 2.9, a). Поэтому может создаться впечатление, что оба представления синусоидальных величин практически совпадают. В действительности это не так. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа электрических цепей синусоидального тока, который в настоящее время завоевал всеобщее признание.

Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:

(2.21)

Так же обозначается и сам вектор на комплексной плоскости (рис.2.10).

Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

показательная форма

(2.22) тригонометрическая форма

(2. 23)

и алгебраическая форма

(2.24)

где ?????? и ??????? — действительная и мнимая составляющие комплексного значения синусоидальной величины;

Переход от показательной формы к тригонометрической выполнен при помощи формулы Эйлера:

(2.25)

При значениях угла y = p/2 и y = -p/2 из формулы Эйлера следуют два часто встречающихся соотношения

e^jp/2 = j и е^-jp/2 =-j = 1/j. (2.26)

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин;

сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости — векторами комплексных значений. Например, синусоидальному току

i = I_msin(wt + y_i) = 10sin(wt + 45°) соответствует комплексное значение тока

FORMULA!

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы y всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исходным вектором.

Направления синусоидальных величин (ток, напряжение и др.) в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений принимается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи. При выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным

значением a = A_msin(wt + y) и соответствующим комплексным значением ?????? [см. (2.21)]. Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидальных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис. 2.11).

Что такое пиковое значение, среднее значение и среднеквадратичное значение?

Синусоидальный сигнал начинается с нуля, достигает пикового значения и снова снижается до нуля за положительный полупериод. В следующем отрицательном полупериоде сигнал проходит через отрицательное пиковое значение и спускается к нулевому значению. Таким образом, за один полный цикл сигнал достигает положительного пикового значения при 90 градусах и отрицательного пикового значения при 270 градусах.

Максимальное значение, достигаемое переменным сигналом в течение одного цикла, известно как его пиковое значение . Пиковое значение также называется пиковым значением. Пиковое значение симметричного сигнала переменного напряжения и тока также можно определить путем измерения размаха сигнала.

Синусоидальный сигнал имеет различную величину напряжения или тока в разные моменты времени сигнала. Величина тока или напряжения в конкретный момент времени называется мгновенным значением сигнала. Среднее значение всех мгновенных значений переменного напряжения и тока за один полный цикл называется среднее значение .

Для симметричного синусоидального сигнала положительный полупериод симметричен отрицательному полупериоду. Следовательно, среднее значение одного полного цикла равно нулю. Однако среднее значение рассчитывается без учета знаков. Поэтому для определения среднего значения формы переменного сигнала учитывается только положительный полупериод.

На приведенной выше диаграмме пусть i1, i2, i3…….. in будут средними ординатами.

Среднее значение (Iav) синусоидального сигнала,
= Среднее значение средних ординат

Среднее значение синусоидального сигнала получается путем сложения мгновенных значений напряжения или тока только за половину периода.

Пиковое значение синусоидального напряжения 300 вольт, среднее значение будет;
В _{ср = 0,637 x 300}
В _ср  = 191,1 В

Среднеквадратичное значение означает среднеквадратичное значение. Среднеквадратичное значение переменного тока определяется постоянным (постоянным) током, который при протекании в течение заданного времени выделяет такое же количество тепла, как и переменный ток при протекании по той же цепи в течение того же времени. Он также известен как действующее значение переменного тока 9.0007

На приведенной выше диаграмме, если мы рассчитаем количество тепла, выделяемого при протекании электрического тока через ту же цепь за то же время, переменный ток, который производит такое же количество тепла в цепи, поскольку тепло, выделяемое постоянным током, называется среднеквадратичным значением переменного тока. Среднеквадратичное значение равно 240 В переменного тока. Это означает, что напряжение 240 В переменного тока выделяет столько же тепла, сколько выделяется напряжением постоянного тока 240 В для той же цепи.

Среднеквадратичное значение можно определить следующими способами.

Графический метод используется для определения среднеквадратичного значения любого несинусоидального сигнала, изменяющегося во времени. Если форма сигнала симметрична относительно оси, для определения среднеквадратичного значения можно использовать аналитический метод. При графическом методе берется ряд средних ординат и записывается их мгновенное значение.

Каждое среднее значение ординаты сигнала умножается само на себя и добавляется к следующему. Квадратное значение делится на количество средних ординат, а затем квадратный корень выражения дает среднеквадратичное значение. Точность измерения зависит от количества средних ординат, взятых для получения мгновенных значений.

Пусть пиковое значение переменного напряжения составляет 25 вольт, а мгновенное значение в середине полупериода переменного тока следующее.

Среднеквадратичное значение напряжения переменного тока рассчитывается следующим образом.

Среднеквадратичное значение волны переменного тока составляет 17,68 вольт.

Для симметричных синусоидальных сигналов напряжения или тока можно использовать аналитический метод для определения среднеквадратичного значения.

Если пиковое значение напряжения переменного тока составляет 25 вольт, его среднеквадратичное значение будет равно;

В _СКЗ = 25/1,414 = 17,68 В

ВСКЗ = 0,707 В _{м 90 036
Vrms  = 1,11 В avg}

Отношение среднеквадратичного значения к среднему значение чистой синусоидальной формы равно 1,11. Если отношение среднеквадратичного значения к среднему значению отличается от 1,11, говорят, что форма сигнала искажена.

Related Posts

• Что такое крест-фактор или пик-фактор? Его формула и происхождение
• Что такое форм-фактор? Формула форм-фактора и ее вывод
• Определение переменного тока Измерения и преимущества

Связанные сообщения:

Пожалуйста, следите за нами и лайкайте нас:

Среднее значение волны переменного тока

Расчет величина переменных величин, таких как ток или напряжение в переменном токе не является прямой задачей, как в постоянном токе, где значения постоянны во времени. Существует несколько способов представления амплитуды формы переменного сигнала. В случае синусоидальной формы волны переменного тока величины напряжения и тока могут быть представлены

• Пиковое значение
• От пика до пикового значения
• Среднеквадратичное значение
• Мгновенное значение

(Эти значения могут использоваться для представления амплитуды любой другой периодической формы сигнала)
Существует еще один способ представления амплитуды сигнала переменного тока. Он известен как среднее значение.

Значения среднего напряжения и среднего тока синусоидальной волны переменного тока могут быть полезны во многих операциях анализа цепей. Фактически, мультиметры выпрямительного типа измеряют среднее напряжение переменного тока, а затем выполняют некоторые вычисления и отображают выходное значение как среднеквадратичное значение.

Краткое описание

Среднее напряжение

Среднее напряжение, как следует из названия, представляет собой среднее значение мгновенных напряжений, выбранных через соответствующие временные интервалы в полупериоде синусоидальной (или любой другой периодической) волны переменного тока. Среднее значение представляет собой отношение площади под формой волны переменного тока к времени.

Чтобы найти среднее напряжение формы волны переменного тока, один полупериод делится на равноотстоящие ординаты. Рассчитываются мгновенные напряжения на этих средних ординатах. Вычисляя среднее значение этих мгновенных значений напряжения, мы получаем среднее значение формы сигнала переменного тока (будь то напряжение или ток).

Определение среднего значения напряжения сигнала переменного тока аналогично определению среднеквадратичного значения напряжения сигнала переменного тока. Но в процессе нахождения среднего напряжения нет необходимости находить квадраты мгновенных напряжений. Мы можем найти среднее значение напряжения любой формы волны.

Среднее значение напряжения можно назвать «отношением площади под кривой (синусоидальной, прямоугольной или любой другой периодической волной) в любой момент времени» или мы также можем сказать «среднее значение всех мгновенных значений напряжения». значения известны как среднее напряжение».

Каждая периодическая форма волны симметрична по форме, т. е. будет положительный полупериод и отрицательный полупериод. Площадь под положительным полупериодом всегда равна и противоположна по знаку площади под отрицательным полупериодом.

Сумма площадей под обоими полупериодами возвращается к нулю, так как отрицательная и положительная площади нейтрализуют каждую из них. Следовательно, среднее значение рассчитывается с учетом только половины периода.

Среднее значение напряжения измеряется только за один полупериод полного периодического сигнала. Среднее напряжение также называют «средним напряжением сигнала».

Среднее значение можно найти для анализа и расчетов цепей переменного и постоянного тока. Среднее значение представлено VAVG для среднего напряжения и IAVG для среднего тока.

Концепция мгновенного значения

Мгновенное значение (напряжение или ток) переменного сигнала представляет собой значение в любой конкретный момент времени. Напряжение сигнала в данный момент времени называется «мгновенным напряжением».

На приведенной выше диаграмме V1, V2, V3, V4 … — мгновенные напряжения синусоидальной волны. Чтобы найти мгновенное значение напряжения синусоидальной волны, мы зависим от максимального напряжения синусоидальной волны.

Мгновенное напряжение = Максимальное напряжение x sin θ

В _INST = В _МАКС. x sin θ

Здесь θ – это угол, под которым сделаны средние ординаты. Например, в случае синусоидальной волны переменного тока максимальный угол составляет 180° для положительного полупериода. Если мы разделим полупериод на 10 средних ординат, то θ будет кратным 1800 / 10 = 180, т. е. θ занимает 180, 360, 540….до 1800.

Среднее напряжение сигнала в графическом методе

среднее значение переменного сигнала, такого как синусоидальная волна, при взятии полного цикла равно 0. Это связано с тем, что синусоидальная форма волны, которая является переменной волной, т.е. она симметрична относительно оси X, и значения в положительной половине отменяют значения в отрицательной половине, когда берется среднее значение.

Но средние значения синусоидальных напряжений и токов не могут быть равны 0 в реальном времени. Следовательно, среднее значение переменного значения можно рассчитать, взяв средние значения равноотстоящих мгновенных значений полупериода переменного сигнала.

Этот процесс аналогичен процессу определения среднеквадратичного значения напряжения. Положительный полупериод делится поровну на n частей с равными промежутками между ними. Равномерно разделенные части называются «средними ординатами», а это частное значение каждой части называется «мгновенным значением».

Каждое среднее значение ординаты переменного сигнала прибавляется к его следующему значению ординаты, и добавленная сумма делится на общее количество средних ординат. Это значение среднего напряжения. Среднее напряжение определяется по представленной ниже формуле.

Например, если мы разделили полупериод на 10 равных ординат, то среднее напряжение можно рассчитать как

среднее напряжение можно рассчитать следующим образом.

Разделите кривую на 10 средних ординат и рассчитайте мгновенные напряжения в этих точках.

Используя приведенную выше формулу, среднее напряжение можно рассчитать как

Vavg = 2146 / 10 = 214,6 вольт

Следовательно, среднее значение напряжения равно 214,6 вольт.

Среднее напряжение сигнала в аналитическом методе

Как мы уже знаем, каждый периодический сигнал имеет свое среднее значение как сумму нулей, так как он имеет равные части положительных и отрицательных полупериодов. Среднее значение можно рассчитать, рассматривая мгновенное значение только половины периода вместо всех мгновенных значений.

Это применимо только к симметричным сигналам, таким как синусоидальные волны. В несимметричных напряжениях мы должны вычислить среднее значение мгновенных напряжений для полного цикла периодического сигнала, чтобы найти точное значение.

Аппроксимация площади

Чтобы найти среднее значение, нам нужно вычислить приблизительную площадь сигнала или кривой через несколько интервалов. Чтобы найти площадь кривой, ее делят на множество маленьких прямоугольников или треугольников. Путем аппроксимации площадей этих отдельных прямоугольников и сложения всех этих площадей можно рассчитать среднее значение.

Точность среднего значения можно повысить, рассматривая бесконечное (очень большое) количество маленьких прямоугольников. Следующий график представляет собой среднее значение площади, покрытой кривой, с небольшими прямоугольниками через равные интервалы формы сигнала.

Рассчитав среднее значение площади под кривой, мы можем найти точное значение среднего значения напряжения. Наиболее точное значение будет получено, когда значение приблизится к 2П.

Существует множество способов приблизить значение площади под кривой. Это правило трапеций, правило средней ординаты, правило Симпсона и т. д. Если мы рассмотрим синусоиду переменного напряжения, она будет представлена ​​как V (t) = Vp.cos (ωt). Площадь под кривой в каждом случае математически определяется как

Area = V _p Sin(wt)dt

Здесь T — период времени периодической формы волны, а пределы интегрирования равны 0 и Π, поскольку мы рассматриваем только полупериод.

Используя приведенную выше формулу, мы можем рассчитать площадь под сигналом, и мы получим это как

Площадь = 2V _P .

Теперь, когда мы знаем площадь под положительным полупериодом (или отрицательным полупериодом), мы можем легко вычислить среднее значение (напряжение или ток) периодической переменной синусоидальной волны, интегрируя синусоидальную величину по положительному (или отрицательному) периоду. и разделить его на период.

Например, если у нас есть мгновенное напряжение переменной волны как V = Vp.sinθ с периодом времени 2Π, тогда среднее напряжение формы волны переменного тока составляет

В _AV =1/Π В _p Sin(Φ)dΦ

V _AV =V _p /Π -cos(Φ)

=2V _p /Π = 0,673V _p

Среднее значение напряжения переменный сигнал задается как

В _AV =2 В _p /Π = 0,673 В _p

Таким образом, среднее значение синусоидальной волны переменного тока равно произведению пикового значения напряжения на 0,637.
Как и в приведенном выше примере, если у нас есть синусоида с максимальным (пиковым) напряжением 340 Вольт, то среднее значение напряжения можно найти с помощью аналитического метода, приведенного ниже.

В _AV = В _{ПИКОВОЕ} x 0,637 = 340 x 0,637 = 216,5 В.

Среднеквадратичное значение напряжения в пересчете на пиковое напряжение составляет В _{Среднеквадратичное значение} = 0,707 x V _{ПИК . Сравнение среднего и среднеквадратичного напряжения показано ниже.}

ПРИМЕЧАНИЕ. Умножение пикового значения на 0,637 применимо только для синусоидальной волны, но не для других форм волны, таких как пилообразная волна и треугольная волна.

Важность среднего значения при измерении формы синусоидального сигнала переменного тока

Мультиметры выпрямительного типа показывают среднеквадратичное значение (напряжение или ток) только для синусоидального сигнала. Среднеквадратичное значение вычисляется путем вычисления среднего значения, а затем умножения на 1,11. Если мы используем этот мультиметр для измерения среднеквадратичного значения любых других сигналов переменного тока, результатом будет ошибочное среднеквадратичное значение.