Закон Ома в дифференциальной и интегральной форме
Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно пропорциональна сопротивлению R
.
Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Через поперечное сечение проводника течет ток силой dI равной dI = jdS. Напря- жение, приложенное на концах проводника, будет равно Е·dl (т.к. и dφ = -Edl). Для проводника постоянного сечения длиной l будем иметь
.
Отсюда , где- удельная проводимость проводника. Таким образом, выражениезакона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет
j = γ E.
Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженности электрического поля в нем.
Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, содержащую ЭДС. Источник тока в такой цепи обладает внутренним сопротивлением r.
I = ؏ / (r + R).
Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной форме
Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов U = φ1 – φ2.
Тогда работа по переносу заряда q на этом участке равна
A = q(φ1 – φ2) = qU.
Если ток постоянный, то иA = I U t.
Эта работа равна количеству теплоты Q и формула Q = I U t выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.
Используя выражение закона Ома получим
.
Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:
,
где S – сечение, l – длина проводника. Подставляя Q = I2 R t и , получим .
Здесь – плотность тока,, и учитывая, чтоj = γE, получим
.
Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость проводника.
Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электронных представлений
Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток.
Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.
Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти частицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд.
Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с проводом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в котором был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был получен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.
Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный результат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во вращение со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с помощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекавший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m получалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны. Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электропроводности металлов в предположении, что:
– электроны в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа;
– движение электронов подчиняется законам классической механики;
– взаимодействие электронов сводится к соударениям с ионами кристалли-ческой решетки;
– силами взаимодействия между электронами можно пренебречь и они между собой не сталкиваются;
– электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.
Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.
По определению плотность тока j = n e <v> – это заряд, переносимый через единицу площади S = 1м2 за единицу времени t=1 с; n – концентрация электронов, е – заряд электрона, <v> – средняя скорость упорядоченного движения электронов.
На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение и к концу свободного пробега он достигнет скорости, а средняя скорость <v>=vmax/2.
Если <vT> – средняя скорость теплового хаотичного движения электронов, а средняя длина свободного пробега электронов <λ>, то среднее время между соударениями <t> = . Подставляя <t> в формулу для <v> получим:
.
Подставляя <v> в формулу для j, получим
,
т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выражение закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что
то j = γ E.
Удельная проводимость γ ~ n и < λ>, <vт> ~ T, поэтому проводимость снижается с ростом температуры, а удельное сопротивление повышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию
Предполагается,
что вся энергия при соударении передается
узлу кристаллической решетки и переходит
в тепло. За 1 с электрон испытывает
<v
.
Таким образом, – выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Закон Ома в интегральной форме
Для того, чтобы перейти к интегральной форме записи закона Ома для участка проводника, на котором действуют две силы, введем понятие линии тока.
Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор плотности тока направлен по касательной к этой кривой. В этом случае вектор плотности находится из соотношения:
где τ ⃗ – единичный вектор касательной к линии тока.
Предположим, что удельное сопротивление (r) и напряженность поля движущих сил (E ⃗) на поперечном сечении проводника однородны, т.к. E ⃗ однородна, то j ⃗ так же однородная величина. Возьмем произвольное значение поперечного сечения цепи – S. Тогда:
, а значит
Последнее равенство до множим на dl (элементарное перемещение вдоль вектора плотности тока):
где
- dφ – элементарный сброс потенциала электростатического поля,
- dε – элементарная работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда (ЭДС).
Отсюда:
Учитывая, что ρ/S dl=dR (элементарное сопротивление), запишем закон Ома в интегральной форме:
Нужна помощь в продвижении в интернете? Пишите!!! [Нажмите на этот текст или кликните на картинку ниже]
Проинтегрируем получившееся соотношение на конкретном участке цепи постоянного тока между поперечными сечениями S1 и S2:
интегральный закон Ома для участка цепи
где:
- – сопротивление участка,
- – работа сторонних сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи ЭДС участка,
- – работа электростатических сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (напряжение участка),
- – абсолютная величина работы сил сопротивления на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (падение напряжения участка).
Запишем значение напряжения при постоянном токе:
Отсюда запишем закон Ома:
Таким образом закон Ома в интегральной форме – это закон изменения механической энергии единичного положительного заряда на этом участке. В арифметическом виде этот закон можно записать так:
Решение задач
Какой будет плотность тока в металлическом проводнике с удельным сопротивлением ρ постоянного сечения, имеющем длину l, если напряжение, которое приложено к проводу равно U?
Дано: | Решение: |
---|---|
|
|
Пространство между пластинами плоского конденсатора заполняет неоднородное плохо проводящее вещество, удельная проводимость которого изменяется в соответствии с линейным законом: в направлении перпендикулярном пластинам. Известно, что расстояние между пластинами – d, площадь пластин конденсатора – S.
Каким будет ток через этот конденсатор, если напряжение на нем станет равно U?Дано: | Решение: |
---|---|
|
|
Нужна помощь в продвижении в интернете? Пишите!!! [Нажмите на этот текст или кликните на картинку ниже]
Законов постоянного тока. Электрический ток. Мощность и плотность тока. ЭДС и напряжение. Закон Ома. Закон Ома для однородного участка цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме. Закон Ома для полной цепи. Закон Ома в дифференциальной форме.
Законы постоянного тока. Электрический ток. Мощность и плотность тока. ЭДС и напряжение. Закон Ома. Закон Ома для однородного участка цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме. Закон Ома для полной цепи. Закон Ома в дифференциальной форме.ЗАКОНЫ ПОСТОЯННЫЙ ТОК
§ 1 Электрический ток .
Мощность и плотность тока.
ЭДС и Напряжение
I. Любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов, называемое электрическим током . При внешнем электрическом поле E в проводнике начинают двигаться заряды, т.е. генерируется электрический ток. При этом положительные заряды движутся поперек поля, а отрицательные — против поля. Примите за направление тока направление движения положительных зарядов. Для возникновения и существования электрического тока необходимы два условия:
1) наличие свободных носителей заряда (т.е. вещество должно быть проводником или полупроводником при высоких температурах),
2) Наличие внешнего электрического поля.
Для количественной характеристики электрического тока вводится – сила тока – скалярная физическая величина, равная количеству электрического заряда, переносимого в единицу времени через поперечное сечение S .– для постоянного тока и
– для переменного тока.
Ток, сила и направление которого не меняются со временем, называется постоянным.
Плотность тока – векторная физическая величина, численно равная силе тока, протекающего через единицу площади перпендикулярно току.
– для постоянного тока и
– для переменного тока.
II. К участку рассматриваемого проводника поступает ток I , необходимый для поддержания постоянной разности потенциалов между этими точками проводника. Для поддержания постоянной разности потенциалов концы проводника необходимо подключить к источнику питания. Источник тока работает по перемещению электрических зарядов по цепи. Эту работу совершают внешние силы – силы не электростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источника питания. Природа внешних сил может быть
разные (кроме фиксированных платежей):
1) химическая реакция – в гальванических элементах (батареях), аккумуляторных батареях,
2) Электромагнитные – в генераторах. Генератор может использовать а) механическую энергию – гидро, б) атомную – ядерный реактор) тепловую – ТЭЦ, з) приливов – ПЭС, Г) ветер – ветряная электростанция и т.д.
3) использование фотоэффекта – фотонапряжение в калькуляторах и солнечных батареях4) пьезоэлектрическое – пьезоЭДС, например пьезозажигалка,
5) контактный потенциал – термоЭДС в термопарах и т.д.
Поле внешних сил, электрические заряды движутся внутри источника питания против сил электростатического поля, в результате чего по клемме источника тока и поддерживается разностью потенциалов в цепи ток.
ЭДС определяется работой внешних сил по перемещению единицы положительного заряда по замкнутому контуру.
Двусторонняя сила равна:
где – поле внешних сил. Работа внешних сил по перемещению заряда q на замкнутом участке цепи равна:
т.е. ЭДС циркуляции равна вектору напряженности внешних сил. На участке 1 – 2 (см. рисунок) кроме внешних сил сила, действующая на электростатическое поле
т.е. результирующая сила на участке 1 – 2 равна
, затем
Для замкнутого контура
Напряжение U на участке 1 -2 называется физической величиной, определяемой работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и внешних сил при перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи
в
§ 2 Закон Ома
1. Закон Ома для однородного участка цепи.Называется однородная область, свободная от ЭМП.
Ток на однородном участке цепи прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению цепи
1 Ом – сопротивление проводника, по которому при напряжении 1 В 1 А протекает ток.
Г –
электропроводность. (Сименс).
Сопротивление R проводника зависит от его размера и формы, а также материала проводника.,
где ρ – удельное сопротивление проводника – сопротивление на единицу длины проводника.
ℓ – длина провода; S – площадь поперечного сечения проводника.
2. Закон Ома для неоднородного участка цепи
Неоднородным называется участок цепи, содержащий ЭДС.
— Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме
3. Закон Ома для замкнутой цепи (полной цепи).
где R – сопротивление внешней цепи, Ом0051 r – импеданс источника ЭДС, затем
-Закон Ома для полной цепи
4. Закон Ома в дифференциальной форме
σ – электропроводность;
–
Закон Ома в дифференциальной форме.
Плотность тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля Е . Коэффициент пропорциональности σ – электропроводность.
К списку лекций
Импеданс и обобщенный закон Ома
Импеданс и обобщенный закон ОмаСледующий: Системы первого порядка Уровень выше: Глава 3: Цепь переменного тока Предыдущий: Фазорное представление синусоидального сигнала
Полное сопротивление основных компонентов
Во временной области соотношение между синусоидальным током через и синусоидальное напряжение на конденсаторе или индуктор описывается дифференциальным уравнением. Однако, в частотной области, где эти синусоидальные переменные представлены в виде комплексных экспонент, а такие компоненты, как поскольку R, C и L представлены своими импедансы , тогда соотношение между синусоидальным напряжением и током можно описать алгебраическим уравнением.
В частности, мы представляем синусоидальное напряжение и ток как проекция соответствующего вектора в комплексе плоскость, вращающаяся против часовой стрелки относительно действительной оси:
(33) |
Импеданс | (34) |
- Резистор:
Импеданс резистора – это отношение векторных представлений напряжения и тока. Поскольку ток через и напряжение через резистор всегда находится в фазе, т. е. имеем(35)
Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:(36)
Резистор не вносит фазового сдвига между напряжением и током, т. е. они находятся в фазе.(37) - Конденсатор:
Импеданс конденсатора – это отношение векторных представлений напряжения и тока:(38)
Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:(39)
Фазовый сдвиг, вносимый конденсатором, равен , т. е. напряжение отстает от тока на , или ток опережает напряжение на («ICE»).(40) - Катушка индуктивности:
Импеданс индуктора – это отношение векторных представлений напряжения и тока:(41)
Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:(42)
Фазовый сдвиг, вносимый катушкой индуктивности, равен , т. е. напряжение опережает ток на («ELI»).(43)
- Когда , а на конденсаторе ноль проводимость из-за изоляции между двумя его пластинами (разомкнутая цепь), а поскольку нет изменения потока в катушке индуктивности и сопротивления катушки в идеале равен нулю.
- Когда , и конденсатор становится высокопроводящим и как самоиндуцированный напряжение в катушке всегда действует против любого изменения на входе (закон Ленца).
В цепи постоянного тока каждый резистор измеряется либо его сопротивлением или его проводимость. В цепи переменного тока каждый компонент (конденсатор, индуктора или резистора) измеряется его импедансом , из которых действительная и мнимая части – соответственно сопротивление и реактивное сопротивление , или его допуска , действительные и мнимые части которых равны соответственно проводимость и проводимость, как показано ниже:
- Полное сопротивление
Как комплексная переменная импеданс может быть записан в любом Декартова или полярная форма:
(44) - Действительная часть импеданса называется сопротивлением .
- Мнимая часть импеданса называется реактивным сопротивлением .
Величина и фазовый угол:
Импедансы связанный с и оба являются чисто мнимыми, т. е. оба являются реактивными, что указывает на то, что эти компоненты являются реактивными и не потребляют энергии.(45) - Допуск
Обратная величина импеданса называется адмиттансом :
(46) - Действительная часть проводимости называется проводимостью :
(47) - Мнимая часть проводимости называется проводимостью :
(48)
Величина и фаза комплексной проводимости
(49) - Действительная часть проводимости называется проводимостью :
(50) |
Импеданс и проводимость являются комплексными переменными. действительные части и всегда положительны, а мнимые частей и может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому и может находиться только в 1-м или 4-м квадрантах комплексной плоскости.
В частности, проводимости трех типов элементов R, L и С
(51) |
Закон Ома также может быть выражен в терминах допуска, а также импеданс. Иногда при анализе цепей удобнее использовать адмитанс вместо импеданса.
- Параллельные компоненты:
(52) - Компоненты в серии:
(53)
Обобщенный закон Ома и законы Кирхгофа
В общем, все методы, такие как закон Ома и законы Кирхгофа, используемые для постоянного тока цепи, состоящие из резисторов, можно обобщить до цепей переменного тока, состоящих конденсаторов, катушек индуктивности, а также резисторов, представленных их импедансы. Кроме того, если предположить, что все напряжения и токи в цепи синусоидами одной частоты, их можно представить в виде сложных фазоры.
Закон Ома можно обобщить следующим образом:
(54) |
- Текущий закон (KCL): Векторная сумма токов в узел равен нулю .
- Закон о напряжении (KVL): Векторная сумма напряжений вокруг контура равен нулю .
Расчет цепи переменного тока векторным методом
Если только стационарные решения ДУ, описывающего цепь переменного тока, интерес, метод фазора может быть использован для решения задачи алгебраически без решения ДЭ. В частности, все синусоидальные переменные представлены как вектора с точки зрения их амплитуд и фаз, и все компоненты в цепи (L и C, а также R) представлены их импедансами, так что все законы (закон Ома, ККЛ и КВЛ, делители тока и напряжения, параллельные и последовательных комбинаций компонентов) и методы (петлевой ток и узел методы напряжения, теоремы Тевенина и Нортона и т. д.), обсуждаемые для постоянного тока можно применить схему.
Операции над синусоидальными переменными на основе тригонометрических тождеств вообще длинные и нудные. Метод фазора может преобразовать такие синусоидальные переменные в векторы в комплексной плоскости и тем самым упростить операции.
Вот повторение сложной арифметики.
Пример 1:
Решите схему ниже. Напряжение от генератора равно .
Заданное напряжение может быть выражено в векторной форме как
(55) |
Сначала найдите импедансы и проводимости компонентов и две ветви. Как , мы получаем
Пример 2:
ток течет по цепи, состоящей из резистора , конденсатор , и индуктор соединены последовательно. Найдите результирующее напряжение на всех три элемента.
- Экспресс в векторе: .
- Найдите импеданс для каждого элемента (
):
(56) - Найти полное сопротивление:
(57) - Найти напряжение на всех трех элементах:
(58) (59)
или во временной области:
Складывая , , и , получаем общее напряжение что то же самое, что мы получили выше:
(62) |
Пример 3:
В схеме ниже, с некоторым неизвестным пиковым значением, , и . Среднеквадратичное значение поперек составляет 10 В. Это также известно, что и находятся в фазе.
- Найти .