Закон ома в дифференциальном виде: Закон Ома в дифференциальной и интегральной форме

Содержание

Закон Ома в дифференциальной и интегральной форме

Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока I прямо пропорциональна напряжению U на участке цепи и обратно пропорциональна сопротивлению R

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Через поперечное сечение проводника течет ток силой dI равной dI = jdS. Напря- жение, приложенное на концах проводника, будет равно Е·dl (т.к. и dφ = -Edl). Для проводника постоянного сечения длиной l будем иметь

Отсюда , где- удельная проводимость проводника. Таким образом, выражениезакона Ома в дифференциальной форме в векторном виде будет

j = γ E.

Плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженности электрического поля в нем.

Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, содержащую ЭДС. Источник тока в такой цепи обладает внутренним сопротивлением r.

Сопротивление внешней части цепи R называют внешним или сопротивлением нагрузки. Падение напряжения на внутреннем участке цепи равно U₁ = Ir, а на внешнем – U =IR. При замкнутой внешней цепи ЭДС источника тока ؏ равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника тока и во внешней цепи, ؏ = Ir + IR, откуда

I = ؏ / (r + R).

Это есть выражение закона Ома в интегральной форме.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной форме

Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов U = φ₁ – φ₂.

Тогда работа по переносу заряда q на этом участке равна

A = q(φ₁ – φ₂) = qU.

Если ток постоянный, то иA = I U t.

Эта работа равна количеству теплоты Q и формула Q = I U t выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Используя выражение закона Ома получим

Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:

где S – сечение, l – длина проводника. Подставляя Q = I² R t и , получим .

Здесь – плотность тока,, и учитывая, чтоj = γE, получим

Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость проводника.

Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электронных представлений

Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток.

Был пропущен заряд, равный 3,5·10⁶ Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилиндров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.

Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.

Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти частицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд.

Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с проводом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в котором был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был получен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.

Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный результат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во вращение со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с помощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекавший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m получалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны. Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электропроводности металлов в предположении, что:

– электроны в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа;

– движение электронов подчиняется законам классической механики;

– взаимодействие электронов сводится к соударениям с ионами кристалли-ческой решетки;

– силами взаимодействия между электронами можно пренебречь и они между собой не сталкиваются;

– электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.

Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.

По определению плотность тока j = n e <v> – это заряд, переносимый через единицу площади S = 1м² за единицу времени t=1 с; n – концентрация электронов, е – заряд электрона, <v> – средняя скорость упорядоченного движения электронов.

На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение и к концу свободного пробега он достигнет скорости, а средняя скорость <v>=v_max/2.

Если <v_T> – средняя скорость теплового хаотичного движения электронов, а средняя длина свободного пробега электронов <λ>, то среднее время между соударениями <t> = . Подставляя <t> в формулу для <v> получим:

Подставляя <v> в формулу для j, получим

т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выражение закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что

то j = γ E.

Удельная проводимость γ ~ n и < λ>, <v_т> ~ T, поэтому проводимость снижается с ростом температуры, а удельное сопротивление повышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию

Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон испытывает <v

T>/ < λ > cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в единице объема за единицу времени выделится количество тепла

Таким образом, – выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Ома в интегральной форме

Для того, чтобы перейти к интегральной форме записи закона Ома для участка проводника, на котором действуют две силы, введем понятие линии тока.

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор плотности тока направлен по касательной к этой кривой. В этом случае вектор плотности находится из соотношения:

где τ ⃗ – единичный вектор касательной к линии тока.

Предположим, что удельное сопротивление (r) и напряженность поля движущих сил (E ⃗) на поперечном сечении проводника однородны, т.к. E ⃗ однородна, то j ⃗ так же однородная величина. Возьмем произвольное значение поперечного сечения цепи – S. Тогда:

, а значит

Последнее равенство до множим на dl (элементарное перемещение вдоль вектора плотности тока):

где

dφ – элементарный сброс потенциала электростатического поля,
dε – элементарная работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда (ЭДС).

Отсюда:

Учитывая, что ρ/S dl=dR (элементарное сопротивление), запишем закон Ома в интегральной форме:

Нужна помощь в продвижении в интернете? Пишите!!! [Нажмите на этот текст или кликните на картинку ниже]

Проинтегрируем получившееся соотношение на конкретном участке цепи постоянного тока между поперечными сечениями S1 и S2:

интегральный закон Ома для участка цепи

где:

– сопротивление участка,
– работа сторонних сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи ЭДС участка,

– работа электростатических сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (напряжение участка),
– абсолютная величина работы сил сопротивления на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (падение напряжения участка).

Запишем значение напряжения при постоянном токе:

Отсюда запишем закон Ома:

Таким образом закон Ома в интегральной форме – это закон изменения механической энергии единичного положительного заряда на этом участке. В арифметическом виде этот закон можно записать так:

Решение задач

Какой будет плотность тока в металлическом проводнике с удельным сопротивлением ρ постоянного сечения, имеющем длину l, если напряжение, которое приложено к проводу равно U?

Дано:	Решение:
ρ l U J – ?	Плотность тока можно найти по формуле –

Дано:

Решение:

J – ?

Плотность тока можно найти по формуле –

Пространство между пластинами плоского конденсатора заполняет неоднородное плохо проводящее вещество, удельная проводимость которого изменяется в соответствии с линейным законом: в направлении перпендикулярном пластинам. Известно, что расстояние между пластинами – d, площадь пластин конденсатора – S.

Каким будет ток через этот конденсатор, если напряжение на нем станет равно U?

Дано:	Решение:
d S U j – ?	Запишем закон Ома – Отсюда можем найти силу тока – Ответ

Дано:

Решение:

j – ?

Запишем закон Ома –
Отсюда можем найти силу тока –

Ответ

Нужна помощь в продвижении в интернете? Пишите!!! [Нажмите на этот текст или кликните на картинку ниже]

Законов постоянного тока. Электрический ток. Мощность и плотность тока. ЭДС и напряжение. Закон Ома. Закон Ома для однородного участка цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме. Закон Ома для полной цепи. Закон Ома в дифференциальной форме.

Законы постоянного тока. Электрический ток. Мощность и плотность тока. ЭДС и напряжение. Закон Ома. Закон Ома для однородного участка цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме. Закон Ома для полной цепи. Закон Ома в дифференциальной форме.

ЗАКОНЫ ПОСТОЯННЫЙ ТОК

§ 1 Электрический ток .

Мощность и плотность тока.

ЭДС и Напряжение

I. Любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов, называемое электрическим током . При внешнем электрическом поле E в проводнике начинают двигаться заряды, т.е. генерируется электрический ток. При этом положительные заряды движутся поперек поля, а отрицательные — против поля. Примите за направление тока направление движения положительных зарядов. Для возникновения и существования электрического тока необходимы два условия:

1) наличие свободных носителей заряда (т.е. вещество должно быть проводником или полупроводником при высоких температурах),

2) Наличие внешнего электрического поля.

Для количественной характеристики электрического тока вводится – сила тока – скалярная физическая величина, равная количеству электрического заряда, переносимого в единицу времени через поперечное сечение S .

– для постоянного тока и

– для переменного тока.

Ток, сила и направление которого не меняются со временем, называется постоянным.
Плотность тока – векторная физическая величина, численно равная силе тока, протекающего через единицу площади перпендикулярно току.

– для постоянного тока и

– для переменного тока.

II. К участку рассматриваемого проводника поступает ток I , необходимый для поддержания постоянной разности потенциалов между этими точками проводника. Для поддержания постоянной разности потенциалов концы проводника необходимо подключить к источнику питания. Источник тока работает по перемещению электрических зарядов по цепи. Эту работу совершают внешние силы – силы не электростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источника питания. Природа внешних сил может быть

разные (кроме фиксированных платежей):
1) химическая реакция – в гальванических элементах (батареях), аккумуляторных батареях,
2) Электромагнитные – в генераторах. Генератор может использовать а) механическую энергию – гидро, б) атомную – ядерный реактор) тепловую – ТЭЦ, з) приливов – ПЭС, Г) ветер – ветряная электростанция и т.д.
3) использование фотоэффекта – фотонапряжение в калькуляторах и солнечных батареях4) пьезоэлектрическое – пьезоЭДС, например пьезозажигалка,
5) контактный потенциал – термоЭДС в термопарах и т.д.
Поле внешних сил, электрические заряды движутся внутри источника питания против сил электростатического поля, в результате чего по клемме источника тока и поддерживается разностью потенциалов в цепи ток.

Источник тока характеризуется электродвижущей силой – ЭДС

ЭДС определяется работой внешних сил по перемещению единицы положительного заряда по замкнутому контуру.

Двусторонняя сила равна:

где – поле внешних сил. Работа внешних сил по перемещению заряда q на замкнутом участке цепи равна:

т.е. ЭДС циркуляции равна вектору напряженности внешних сил. На участке 1 – 2 (см. рисунок) кроме внешних сил сила, действующая на электростатическое поле

т.е. результирующая сила на участке 1 – 2 равна

, затем

Для замкнутого контура

Напряжение U на участке 1 -2 называется физической величиной, определяемой работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и внешних сил при перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи

§ 2 Закон Ома

Закон Ома для однородного участка цепи.

Называется однородная область, свободная от ЭМП.

Ток на однородном участке цепи прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению цепи

1 Ом – сопротивление проводника, по которому при напряжении 1 В 1 А протекает ток.

Г –

электропроводность. (Сименс).

Сопротивление R проводника зависит от его размера и формы, а также материала проводника.

где ρ – удельное сопротивление проводника – сопротивление на единицу длины проводника.

ℓ – длина провода; S – площадь поперечного сечения проводника.

2. Закон Ома для неоднородного участка цепи

Неоднородным называется участок цепи, содержащий ЭДС.

— Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

3. Закон Ома для замкнутой цепи (полной цепи).

где R – сопротивление внешней цепи, Ом0051 r – импеданс источника ЭДС, затем

-Закон Ома для полной цепи

4. Закон Ома в дифференциальной форме

σ – электропроводность;

–

Закон Ома в дифференциальной форме.

Плотность тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля Е . Коэффициент пропорциональности σ – электропроводность.

К списку лекций

Импеданс и обобщенный закон Ома

Следующий: Системы первого порядка Уровень выше: Глава 3: Цепь переменного тока Предыдущий: Фазорное представление синусоидального сигнала

Полное сопротивление основных компонентов

Во временной области соотношение между синусоидальным током через и синусоидальное напряжение на конденсаторе или индуктор описывается дифференциальным уравнением. Однако, в частотной области, где эти синусоидальные переменные представлены в виде комплексных экспонент, а такие компоненты, как поскольку R, C и L представлены своими импедансы , тогда соотношение между синусоидальным напряжением и током можно описать алгебраическим уравнением.

В частности, мы представляем синусоидальное напряжение и ток как проекция соответствующего вектора в комплексе плоскость, вращающаяся против часовой стрелки относительно действительной оси:

(33)

и определить импеданс компонента (R, C и L) как отношение напряжения и тока, связанного с компонент как в комплексной экспоненциальной форме:

Импеданс

(34)

Это обобщенная версия закона Ома для цепей переменного тока.

Резистор:
(35)
Импеданс резистора – это отношение векторных представлений напряжения и тока. Поскольку ток через и напряжение через резистор всегда находится в фазе, т. е. имеем
(36)
Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:
(37)
Резистор не вносит фазового сдвига между напряжением и током, т. е. они находятся в фазе.
Конденсатор:
(38)
Импеданс конденсатора – это отношение векторных представлений напряжения и тока:
(39)
Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:
(40)
Фазовый сдвиг, вносимый конденсатором, равен , т. е. напряжение отстает от тока на , или ток опережает напряжение на («ICE»).
Катушка индуктивности:
(41)
Импеданс индуктора – это отношение векторных представлений напряжения и тока:
(42)
Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:
(43)
Фазовый сдвиг, вносимый катушкой индуктивности, равен , т. е. напряжение опережает ток на («ELI»).

Один из способов запомнить фазу между напряжением и током связанный с конденсатором и катушкой индуктивности, это «ELI the ICE man». Кроме того, рассмотрим два крайних случая:

Когда , а на конденсаторе ноль проводимость из-за изоляции между двумя его пластинами (разомкнутая цепь), а поскольку нет изменения потока в катушке индуктивности и сопротивления катушки в идеале равен нулю.
Когда , и конденсатор становится высокопроводящим и как самоиндуцированный напряжение в катушке всегда действует против любого изменения на входе (закон Ленца).

В цепи постоянного тока каждый резистор измеряется либо его сопротивлением или его проводимость. В цепи переменного тока каждый компонент (конденсатор, индуктора или резистора) измеряется его импедансом , из которых действительная и мнимая части – соответственно сопротивление и реактивное сопротивление , или его допуска , действительные и мнимые части которых равны соответственно проводимость и проводимость, как показано ниже:

Полное сопротивление
Как комплексная переменная импеданс может быть записан в любом Декартова или полярная форма:
(44)
- Действительная часть импеданса называется сопротивлением .
- Мнимая часть импеданса называется реактивным сопротивлением .
Импеданс, сопротивление и реактивное сопротивление измеряются в одних и тех же единицах. Ом ().
Величина и фазовый угол:
(45)
Импедансы связанный с и оба являются чисто мнимыми, т. е. оба являются реактивными, что указывает на то, что эти компоненты являются реактивными и не потребляют энергии.
Допуск
Обратная величина импеданса называется адмиттансом :
(46)
- Действительная часть проводимости называется проводимостью :
  (47)
- Мнимая часть проводимости называется проводимостью :
  (48)
Адмиттивность, проводимость и реактивная проводимость измеряются одним и тем же единица Сименс ().
Величина и фаза комплексной проводимости
(49)

(50)

Импеданс и проводимость являются комплексными переменными. действительные части и всегда положительны, а мнимые частей и может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому и может находиться только в 1-м или 4-м квадрантах комплексной плоскости.

В частности, проводимости трех типов элементов R, L и С

(51)

Закон Ома также может быть выражен в терминах допуска, а также импеданс. Иногда при анализе цепей удобнее использовать адмитанс вместо импеданса.

Параллельные компоненты:
(52)
Компоненты в серии:
(53)

Обобщенный закон Ома и законы Кирхгофа

В общем, все методы, такие как закон Ома и законы Кирхгофа, используемые для постоянного тока цепи, состоящие из резисторов, можно обобщить до цепей переменного тока, состоящих конденсаторов, катушек индуктивности, а также резисторов, представленных их импедансы. Кроме того, если предположить, что все напряжения и токи в цепи синусоидами одной частоты, их можно представить в виде сложных фазоры.

Закон Ома можно обобщить следующим образом:

(54)

и законы Кирхгофа теперь можно сформулировать как:

Текущий закон (KCL): Векторная сумма токов в узел равен нулю .
Закон о напряжении (KVL): Векторная сумма напряжений вокруг контура равен нулю .

Расчет цепи переменного тока векторным методом

Если только стационарные решения ДУ, описывающего цепь переменного тока, интерес, метод фазора может быть использован для решения задачи алгебраически без решения ДЭ. В частности, все синусоидальные переменные представлены как вектора с точки зрения их амплитуд и фаз, и все компоненты в цепи (L и C, а также R) представлены их импедансами, так что все законы (закон Ома, ККЛ и КВЛ, делители тока и напряжения, параллельные и последовательных комбинаций компонентов) и методы (петлевой ток и узел методы напряжения, теоремы Тевенина и Нортона и т. д.), обсуждаемые для постоянного тока можно применить схему.

Операции над синусоидальными переменными на основе тригонометрических тождеств вообще длинные и нудные. Метод фазора может преобразовать такие синусоидальные переменные в векторы в комплексной плоскости и тем самым упростить операции.

Вот повторение сложной арифметики.

Пример 1:

Решите схему ниже. Напряжение от генератора равно .

Заданное напряжение может быть выражено в векторной форме как

(55)

Сначала найдите импедансы и проводимости компонентов и две ветви. Как , мы получаем

Затем найдите все токи в векторной форме:

Проверять:

Пример 2:

ток течет по цепи, состоящей из резистора , конденсатор , и индуктор соединены последовательно. Найдите результирующее напряжение на всех три элемента.

Экспресс в векторе: .
Найдите импеданс для каждого элемента ( ):
(56)
Найти полное сопротивление:
(57)
Найти напряжение на всех трех элементах:
(58)
(59)

В качестве альтернативы мы можем найти напряжение на каждом из элементов:

или во временной области:

Складывая , , и , получаем общее напряжение что то же самое, что мы получили выше:

(62)

Пример 3:

В схеме ниже, с некоторым неизвестным пиковым значением, , и . Среднеквадратичное значение поперек составляет 10 В. Это также известно, что и находятся в фазе.

Найти .