Аппроксимация синусоиды что это: Аппроксимированная синусоида, ступенчатая аппроксимация синусоиды в инверторах: что это

Источники бесперебойного питания. Решения компании APC

При деловом применении компьютерной техники (ПК, серверов, дисковых массивов) возможный размер убытков от потери данных или простоя при проблемах с электроэнергией может многократно превысить стоимость ИБП. Поэтому все больше компаний и частных пользователей приходят к обязательному использованию источников бесперебойного питания.

Рассмотрим возможные проблемы сети электропитания:

• Пониженное/повышенное напряжение
• Отсутствие напряжения
• Отклонение частоты питающего напряжения
• Импульсные помехи

По данным компании Bell Labs соотношение по числу инцидентов примерно следующее:

Это данные для электросетей США однако для нашей страны соотношение по мнению экспертов компании APC примерно такое же.

Все источники бесперебойного питания (ИБП) делятся на две основные группы, характеризующие их архитектуру и методы работы:

ИБП типа Off-line имеют более простую конструкцию, доступную цену и широкую сферу применения.

По оценкам компании ITResearch они составляют до 70% российского парка источников бесперебойного питания.

Независимо от архитектуры в любом ИБП присутствуют 3 обязательных компонента: Выпрямитель переменного тока, аккумуляторная батарея и инвертор.

В ИБП архитектуры Off-line инвертор активен только при работе от батареи (инвертор преобразует постоянный ток аккумуляторной батареи в переменный выходной ток). В ИБП архитектуры On-line инвертор работает постоянно. Зачем, мы рассмотрим ниже.

В архитектуре Off-line существует 2 топологии построения ИБП: Stand-By и Line-Interactive:

1. Топология Stand-By (модели APC Back-UPS CS/ES/HS)

   ИБП топологии stand-by (резервные ИБП) в нормальном режиме подает электроэнергию на выход источника прямо с входа (через сетевой фильтр) и только в случае сбоя сетевого электропитания задействует инвертор и батарею.

   Основное достоинство ИБП топологии stand-by самая низкая стоимость и высокий КПД, однако время переключения на батарею при пропадании напряжения в сети самое большое из всех типов ИБП. Впрочем, этого обычно достаточно для обычных рабочих ПК. Также к числу недостатков относится ступенчатая форма выходного сигнала при работе от батареи (ступенчатая аппроксимация синусоиды).

2. Топология Line-Interactive (модели APC Back-UPS RS, Smart-UPS, Smart-UPS XL)

   ИБП технологии Stand-by не осуществляет коррекции входного напряжения (за исключением погашения импульсных помех), а лишь переключается на работу от батареи если напряжение “выходит” из рабочего диапазона. Этого недостатка лишены ИБП топологии Line-Interactive, т.к. там добавлен еще один важный компонент – стабилизатор напряжения. Форма выходного сигнала у Line-Interactive почти чистая синусоида при работе от батареи.

3. Архитектура On-Line, топология Double Conversion (двойное преобразование, модели Smart-UPS RT/VT)

   При данной архитектуре инвертор работает постоянно. Это и обеспечивает главные преимущества архитектуры On-Line: нулевое время переключения на питание от батареи и отличная стабилизация выходного напряжения и формы сигнала (чистая синусоида на выходе).

   Однако данная конструкция обуславливает гораздо более высокую стоимость ИБП, чем в ИБП класса Off-Line. Постоянно работающие инвертор и батарея выделяют тепло, что приводит к необходимости принудительного охлаждения узлов ИБП и несколько более низкому КПД по сравнению с off-line моделями.

Невелика была бы полезность источников бесперебойного питания, если бы они не имели обратной связи с оборудованием, которое защищают. Для взаимодействия между ПК, серверами и ИБП APC служит программное обеспечение APC PowerChute. Подключение осуществляется по интерфейсам RS-232, USB и LAN. В зависимости от модели ИБП программное обеспечение бывает одной из 3-х версий:

PowerChute Personal Edition	PowerChute Business Edition	PowerChute Network Shutdown
Корректное завершение работы системы	Корректное завершение работы системы	Надежная схема организации корректного завершения работы множественных систем, функционирующая на базе компьютерной сети
Автоматическое оповещение пользователя	Автоматическое оповещение системного администратора
Управление системой	Управление ИБП и корректное завершение работы серверов и рабочих станций
Связь через USB (работает только с Back-UPS CS, RS, ES) Поддержка ОС: Mac OS X, Windows 2000, Windows 2003, Windows XP.	Связь через Сom Port, USB (Smart-UPS, XL, RT, Matrix) Работает с Back-UPS CS, RS, ES только через Соm Поддержка ОС: Linux, Novell, Solaris, WinNT, Windows 2000, Windows 2003, Windows XP.	Связь через LAN (Smart-UPS c 750 Ва, XL, RT, VT, Symmetra, Silcon) Поддержка ОС: AIX, HP/UX, Linux, Mac OS X, Novell, Solaris, WinNT, Windows 2000, Windows 2003, Windows XP.

Приведем небольшой глоссарий по технологиям используемым в ИБП производства APC – мирового лидера этих устройств:

Горячая замена батареи – возможность заменить аккумуляторную батарею в ИБП без отключения его от нагрузки

“Холодный старт” – возможность включения оборудования (ПК, сервера) на работу от батареи при отсутствии напряжения в сети

SmartSlot – внутренний разъем в ИБП APC для установки дополнительных аксессуаров, расширяющих функционал устройства

Режимы SmartBoost и SmartTrim – коррекция входного напряжения до оптимального диапазона

WEB-карта – аксессуар наделяющий ИБП APC собственным сетевым интерфейсом (MAC-адресом и IP), что позволяет удаленно управлять ИБП

Позиционирование ИБП APC:

Back-UPS

• Защита питания для ПК и рабочих станций

Smart-UPS

• Защита питания для рабочих станций, серверов, сетей голосовой связи и передачи данных. 5 мин – 100% нагрузка

Smart-UPS XL

• Защита питания с масштабированием по времени работы от аккумуляторов для серверов, сетей голосовой связи и передачи данных. > 5 мин – 100% нагрузка

Smart-UPS RT

• Высококачественная защита питания с возможностью масштабирования по времени работы от аккумуляторов для компьютерных залов, испытывающих дефицит пространства, сетей голосовой связи и передачи данных
• Защита оборудования в регионах с плохим качеством электропитания
• Работа с дизель-генератором
• Защита оборудования, требующего точные параметры электропитания
• Специальные требования в тендерах

Smart-UPS VT

• Качественная Защита трехфазного электропитания с наращиваемым временем работы от батарей для небольших центров обработки данных (ЦОД), производственных линий, систем АСУ ТП
• Медицинское оборудование

Таким образом при выборе ИБП необходимо учитывать предстоящий объем нагрузки (Вт), возможность наращивания мощности (масштабирование), характер подключамого оборудования (требования по качеству питания).

Для того чтобы выбрать конкретную модель ИБП наиболее точно отвечающую задачам можно воспользовавшись удобным пошаговым мастером на сайте компании APC, a также обратиться к менеджерам нашей компании по многоканальному телефону (495) 258-0071.

При подготовке раздела использовались маркетинговые материалы компании APC

Источники бесперебойного питания Eltena | Компания Нейрон, г. Барнаул

Eltena российский производитель надёжных источников бесперебойного питания. Основная специализация это устройства питания для серверов и оборудования критичного к простоям. Но есть и модели уровня «small office». Ещё одной отличительной чертой оборудования с маркой 

Eltena является наличие в модельном ряде бесперебойников с возможностью подключения внешних батарей, за счёт чего значительно возрастает время автономной работы. Компания Нейрон единственный продавец продукции Eltena в Барнауле, постоянно имеющий в наличие на складе наиболее популярные модели.

Вся продукция Eltena относится к двум типам источников бесперебойного питания, это линейно-интерактивные ИБП (Line-Interactive) и ИБП с двойным преобразованием (On-Line).

Линейно-интерактивный ИБП обеспечивает питание нагрузки через ступенчатый стабилизатор, корректирующий повышенное или пониженное входное напряжение, фильтруя импульсные помехи. При выходе входного напряжения за пределы диапазона регулировки входного напряжения ИБП переводит оборудование на питания от батарей через инвертор. По форме напряжения инвертора линейно-интерактивные модели ИБП делятся на два класса:

• Со ступенчатой аппроксимацией синусоиды на выходе (Eltena Smart Station)
• С синусоидальным выходным напряжением (Eltena Intelligent)

Схема построения ИБП с двойным преобразованием обеспечивает качественно иной уровень защиты нагрузки. Поступающее на вход переменное сетевое напряжение сначала преобразуется выпрямителем в постоянное, а затем с помощью инвертора снова в переменное. Таким образом, на выходе ИБП формируется качественная синусоида с постоянной амплитудой независимо от наличия и формы входного напряжения. Аккумуляторная батарея постоянно подключена в цепь постоянного напряжения, что обеспечивает нулевое время перехода на питание от батарей. К этому типу ИБП относятся все модификации 

Eltena Monolith.

Компания Нейрон осуществляет пост гарантийное обслуживание и НЕ гарантийный ремонт блоков бесперебойного питания Eltena.

“Чистая” синусоида: как лукавят производители ИБП | СамЭлектрик.ру

Давайте разберемся, чем принципиально отличаются ИБП по своей внутренней электрической схеме, и какое качество синусоиды у них на выходе.

Думаю, принцип действия мои читатели знают, поэтому не буду много об этом распространяться.

Я достаточно подробно писал о принципах работы ИБП в статье на блоге.

А вот статья про использование ИБП для питания промышленного оборудования.

1. Off-Line

Эти ИБП называют иногда Back или Standby. Принцип – когда уровень напряжения в допустимых пределах, напряжение идет со входа на выход как есть. Но когда сетевое напряжение выходит за определенные пределы, нагрузка подключается к выходу встроенного инвертора (генератора), преобразующего напряжение постоянного тока от аккумуляторной батареи (АКБ) в напряжение переменного тока стандартной частоты и напряжения.

С напряжением на выходе Off-Line ИБП не очень гладко. В том смысле, что на его выходе в автономном режиме нет привычной нам чистой и гладкой синусоиды. На выходе – так называемая аппроксимированная (ступенчатая) синусоида, а в самых дешевых моделях – импульсы со ступенькой около нуля.

Напряжение на выходе дешевого Offline UPS. Фото автора.

Напряжение на выходе дешевого Offline UPS. Фото автора.

По факту это напряжение с частотой 50 Гц и гармониками. Коэффициент гармоник может достигать 20%.

2. Line-Interactive

Такой тип ИБП ещё называют Smart-UPS, он в некоторых пределах стабилизирует выходное напряжения в дежурном режиме, напоминая работу релейного стабилизатора напряжения. Если же входное напряжение выходит за пределы, «умный стабилизатор» переключается на работу от АКБ (в автономный режим).

В остальном принцип действия Line-Interactive ИБП ничем не отличается от Off-Line ИБП, поэтому рассматривать его не будем.

3. On-Line

Это – лучшая из существующих схем ИБП. В On-Line ИБП происходит двойное преобразование энергии – из переменного напряжения в постоянное, а потом из постоянного в переменное. Получаем следующие плюсы:

· Постоянно работающий инвертор обеспечивает стабильное напряжение 230 В ±1% (как идеальный стабилизатор),

· “Чистый” синус на выходе с ничтожно малым коэффициентом гармоник,

Теперь давайте пройдёмся по понятию “чистый синус”.

Что такое чистый синус?

Какой бы ни был инвертор внутри ИБП, он не может физически генерировать то, что в рекламных текстах называют “Чистый идеальный синус”. У чистого синуса присутствует только одна гармоника, в данном случае – 50 Гц. При этом коэффициент нелинейных искажений формы напряжения будет равен 0%. Это доля других гармоник, кроме основной.

Такого не бывает даже у высокоточных лабораторных измерительных генераторов.

Скриншот из статьи “Источник бесперебойного питания” в Википедии:

КНИ на выходе UPS

КНИ на выходе UPS

Сейчас в любых типах ИБП используется примитивная аппроксимация, когда выходная волна формируется высокочастотными импульсами с последующим сглаживанием на LC-фильтре или без оного.

Амплитуда и скважность каждого импульса задают необходимую для данного момента времени амплитуду выходного сигнала инвертора. В хороших Online ИБП коэффициент нелинейных искажений КНИ менее 3%, а это достаточно низкое значение.

Для примера, профессиональный ИБП от Schneider (MGE Galaxy 300, 15 кВ·А, 400 В)

Искажения есть, значит синусоида не чистая!

Искажения есть, значит синусоида не чистая!

К слову, по ГОСТ 32144-2013 (табл.5) в обычной городской сети коэффициент искажений формы напряжения может быть до 12%:

ГОСТ 32144-2013 (табл.5)

ГОСТ 32144-2013 (табл.5)

Происходит так, как и в преобразователях частоты, где напряжение формируется высокочастотными импульсами – это же и есть качественная аппроксимация, если импульсы (ступеньки) достаточно малы.

В Online UPS в этом смысле формирование синуса более качественное, и в лучших моделях КНИ около 1%.

Действительно, можно сказать, что форма волны нашего инвертора это качественная аппроксимация синусоиды. Только у нас не ступенчатая аппроксимация и импульсы это не ступеньки. В форме выходного напряжения инвертора нет ступенек, переход между уровнями амплитуды происходит плавно, а не скачками. Принципы формирования ступенчатой аппроксимации иные.

Офлайн ИБП. Переход из дежурного в автономный режим. Фото автора

Офлайн ИБП. Переход из дежурного в автономный режим. Фото автора

В Offline ИБП принцип формирования выходного напряжения такой же, но другие схемотехнические решения, поэтому КНИ больше. В дорогих моделях он может быть и менее 5%, в дешевых – до 20%.

То есть, во всех типах ИБП на выходе стоит инвертор, выдающий аппроксимированную синусоиду, только в разных моделях аппроксимация разная по качеству, это качество выражается в проценте гармоник.

Выбор ИПБ по чистоте синуса

При выборе обращайте внимание на коэффициент нелинейных искажений (долю высших гармоник в выходном напряжении)! Например, в некоторых ИБП этот параметр не превышает 3%. А это говорит о том, что внутренний инвертор обеспечивает практически идеальную аппроксимацию синусоиды.

Если смотреть на тип ИБП, у Offline UPS может быть такая ситуация, что в дежурном режиме напряжение идёт из сети в нагрузку с искажениями 10%, а при переключении на инвертор синус будет более качественным, с КНИ 5%.

Поэтому, выбирая тип ИБП для котла, смотрите не на заверения продавцов, а на то, насколько чистый синус выдаёт внутренний инвертор. Часто бывает, что Offline, цена которого в 3-5 раз меньше чем у Online UPS, прекрасно подходит для работы котла.

Конечно, есть тонкости – сквозной ноль, внешние аккумуляторы, способность к перегрузкам, и т.д. но сейчас не об этом.

Иными словами, коэффициент гармоник – это первое, на что надо смотреть после мощности при выборе ИБП. Как правило, при плохой аппроксимации параметр КНИ запрятан где-то глубоко в инструкции.

Вот что пишет у себя на сайте один из продавцов:

https://kaz-tech.kz/a34033-chto-takoe-sinusoida. html

https://kaz-tech.kz/a34033-chto-takoe-sinusoida.html

Это единственный подобный текст, у всех обычно заявляется о идеальности категорично и безаппеляционно.

Я не истина в последней инстанции, поэтому, если что-то не так, пишите – будем разбираться вместе!

Кому интересно, мои статьи про ИБП тут:

Виды ИБП: принципы действия и осциллограммы на выходе,

Установка ИБП в управляющую цепь промышленного оборудования,

Использование внешнего аккумулятора для ИБП. Часть 1, Часть 2. – Тут очень подробно рассмотрена теория заряда и использования аккумуляторов

Обзор параметров и функций ИБП Kehua Tech

Если интересны темы канала, заходите также на мой сайт – https://samelectric.ru/ и в группу ВК – https://vk. com/samelectric

Обращение к читателям, которым есть, что сказать: Если Вы готовы стать Автором, я могу предоставить страницы своего сайта!

Обращение к хейтерам:
за оскорбление Автора и Читателей канала – бан.

ИБП для подключения нескольких компьютеров

Разберемся, какой выбрать ИБП для подключения нескольких компьютеров и на что нужно обратить внимание при выборе «бесперебойника».

В статье четыре примера выбранных источников бесперебойного питания с описанием актуальных для данного случая характеристик.

Вопрос от читателя сайта IT-уроки, Ирины:

Сергей, подскажите, какой ИБП выбрать для небольшого офиса? Можно ли к ИБП Powercom SPIDER SPD-1000U (описание) подключить 4 ПК?

ИБП Powercom SPIDER SPD-1000U

Здравствуйте, Ирина!

Чтобы полностью ответить на ваш вопрос, нужно знать ваши условия. Рассмотрим для примера четыре требования к ИБП.

Время работы ИБП от батареи

Во-первых, нужно определиться, какое время работы компьютеров от ИБП вас устроит.

Это могут быть кратковременные перепады напряжения (до 1 минуты), это может быть несколько минут отсутствия электроэнергии, а могут быть длительные отключения, во время которых основная задача — сохранить текущую работу и выключить ПК.

Рекомендации:

• Если речь не о кратковременных перепадах напряжения, то понадобится ИБП с более высокой ёмкостью батареи.
• На случай необходимости автоматического сохранения работы и выключения компьютеров, необходимо учесть возможность связи между ИБП и всеми ПК.

Количество разъёмов

Во-вторых, нужно учесть, что для полноценной работы и защиты вам скорее всего понадобится к ИБП подключить и мониторы.

Рекомендация:

• Для четырёх ПК вам в сумме понадобится 8 разъёмов, обеспеченных бесперебойным питанием (в указанном вами ИБП только 4 таких разъёма).

Пример ИБП, у которого 3 розетки обеспечены бесперебойным питанием (Battery Backup), а 2 розетки имеют только защиту от всплесков напряжения (Surge Only)

Мощность ИБП

В-третьих, нужно знать характеристики компьютеров, чтобы приблизительно определить их энергопотребление.

Рекомендация:

• Если у вас четыре ПК потребляют по 200 Вт, то вам указанного в вопросе ИБП будет недостаточно (у него выходная мощность 550 Вт).

Качество ИБП

И четвертый момент: Powercom такого ценового уровня не внушает доверия (я о модели, которую вы рассматриваете), да и опыт работы с ними не очень хороший.

Рекомендация:

• Я бы рекомендовал ИБП компании APC.

Предварительные выводы:

Подведём итог, исходя из имеющейся информации:

1. На первый взгляд, минимум подходит эта модель для 4 ПК: ИБП Powercom Smart King Pro+ SPT-1000 (8 разъёмов под защитой и 700 Вт, чистая синусоида на выходе) ссылка на оф. сайт

ИБП Powercom Smart King Pro+ SPT-1000

2. Вариант получше для подключений нескольких ПК, но этот ИБП заметно дороже: APC Smart-UPS 1000 SMT1000I (8 разъёмов под защитой и 700 Вт, чистая синусоида на выходе) ссылка на оф.сайт

ИБП APC Smart-UPS 1000 SMT1000I

3. Относительно недорогой, но интересный вариант на четыре ПК без подключения мониторов (или для обеспечения беспрерывной работы двух ПК с мониторами): APC Back-UPS 1100 BX1100CI (4 разъёма под защитой, 660 Вт, ступенчатая аппроксимация синусоиды, это хуже, чем у предыдущих двух, см. примечание) ссылка на оф.сайт

ИБП APC Back-UPS 1100 BX1100CI

4. Либо такой UPS APC Back-Up CS 650VA установить на каждый ПК или один ИБП на два ПК, в зависимости от ответа на первые три вопроса (3 разъёма под защитой и 400 Вт, ступенчатая аппроксимация синусоиды, также см. примечание) ссылка на оф.сайт

ИБП APC Back-Up CS 650VA

У всех указанных ИБП нет стандартных розеток, о количестве необходимых кабелей нужно узнавать из комплектации.

Примечание: совместимость ИБП и блока питания компьютера

Есть еще пятый момент, который нужно всегда учитывать при выборе ИБП: проблема совместимости с блоками питания компьютера, у ИБП по первой и второй ссылке вероятность столкнуться с этой проблемой меньше, но тоже есть. Желательно договориться с магазином о возможности обмена/возврата.

Надеюсь, у меня получилось дать ответ на вопрос, какой ИБП подходит для подключения нескольких ПК. Дополнительные вопросы можно задать в комментариях.

Рекомендую также прочитать:

---

Поделитесь с друзьями:

---

Понравились IT-уроки?

Все средства идут на покрытие текущих расходов (оплата за сервер, домен, техническое обслуживание)
и подготовку новых обучающих материалов (покупка необходимого ПО и оборудования).

---

Много интересного в соц.сетях:

Что такое бесперебойник для компьютера

Время прочтения: 5 мин

Дата публикации: 24-04-2021

Источники бесперебойного питания конструктивно можно разделить на несколько типов. Их разнообразие связано с тем, что универсальных моделей нет или их установка неоправданно дорогая. Для каждой задачи требуется подбор бесперебойника в соответствии с требованиями потребителя. Если потребитель представляет собой ответственное и дорогостоящее оборудование, ему потребуется профессиональный ИБП. Для бытовых задач выбор падает на простые модели с базовыми возможностями.

В быту чаще всего устанавливаются ИБП для компьютера и газового котла. Мы рассмотрим, что такое бесперебойник для компьютера, зачем он нужен и как выбирать данное устройство. Но начнем, пожалуй, с небольшого ликбеза.

Коротко о типах ИБП

Тип источника бесперебойного питания определяет то, как бесперебойник выполняет свои задачи и какие, при этом, выдает характеристики. Начнем описание с флагманов.

Для промышленной и профессиональной техники используются онлайновые бесперебойники (on-line). Их особенностью является чистый синусоидальный сигнал на выходе при любых колебаниях в питающей сети. Это достигается технологией двойного преобразования, когда сетевое напряжение приводится к эталонному сигналу постоянного тока и затем инвертируется в чистую синусоиду. Стоимость on-line ИБП, особенно моделей высокой мощности, кусается. Поэтому для бытовых задач их характеристики излишни.

Другим популярным типом ИБП является off-line. Здесь нет звена постоянного тока и взаимодействия с сетевым напряжением в принципе. Бесперебойник просто контролирует номинал напряжения и переключается в автономный режим в случае недопустимых колебаний. Инвертор, который преобразует постоянный ток аккумуляторов в переменный 220/380В, является одним из главных ценообразующих факторов на ряду с мощностью, и тут, как правило, он выдает чистую синусоиду. Правильность синусоидального сигнала важна для таких потребителей, как газовые котлы, поэтому off-line ИБП чаще всего для них и приобретается.

Замыкают основную тройку типов ИБП линейно-интерактивные (line-interactive) устройства. Их отличием от off-line является наличие ступенчатого стабилизатора напряжения, который активен при работе от сети. Инвертор может быть как с правильной выходной синусоидой, так и с ее аппроксимацией. Второй вариант значительно дешевле (цена ИБП может быть вдвое или втрое ниже, чем у аналога с правильной синусоидой на выходе), однако он подойдет не для каждого потребителя (защита бытовых газовых котлов исключена).

Зачем компьютеру нужен ИБП

Несмотря на то, что сейчас электроника стремится к портативности, стационарные компьютеры есть практически в каждой семье. Наверное, каждый сталкивался с ситуацией, когда кратковременная просадка напряжения или его кратковременное (буквально на секунду) отсутствие приводило к отключению компьютера. И хорошо, если при этом Вы, например, смотрели фильм, а не работали. Часть работы может быть потеряна.

Можно ли обойтись без ИБП для компьютера? Определенно, да. Средний пользователь справляется и без него, однако можно с уверенностью сказать, что каждый терял какие-нибудь данные или не смог завершить свои задачи из-за неожиданного отключения. И, как ведется, это происходит в самый неподходящий момент. Ноутбук решает проблему, однако в случае длительного обесточивания сети и он сядет. Поэтому наличие недорогого устройства, которое будет дежурить в сети, как раз кстати.

Каким должен быть ИБП для компьютера

Как работает бесперебойник для компьютера, зависит от выбранного типа ИБП. А какой тип выбрать? Нужно исходить из требований, которые предъявляет компьютерная техника. Каждый ПК и монитор оснащены импульсным блоком питания, который достаточно всеяден и преобразует вход 220В даже с огромными искажениями в постоянный ток. Это значит, что заботиться о правильности синусоидального сигнала не требуется и подойдет источник бесперебойного питания, который выдает на выходе аппроксимацию синусоиды. Это значительно удешевит защиту Вашего компьютера.

Мощность подобрать также довольно просто. Блоки питания монитора и системного блока имеют достаточную для работы мощность с некоторым запасом. Можно без проблем подобрать ИБП, мощность которого складывается из суммы мощностей БП монитора и компьютера. А учитывая, что вряд ли кто-то в здравом уме будет эксплуатировать компьютер в автономном режиме на полную мощность, можно и тут немного сэкономить. К примеру, игровой компьютер под нагрузкой может потреблять 700 Вт, когда как при выполнении офисных задач потребляется в разы меньше.

Ну и напоследок поговорим об автономности бесперебойника для компьютера. Тут следует учесть два фактора. Первый – это место установки ИБП. Так как бесперебойник для ПК стоит где-то около компьютерного стола или непосредственно на нем, места для установки внешних аккумуляторов нет. Определенно для компьютера требуется устройство со встроенными аккумуляторами.. Второй фактор – это необходимость длительной автономной работы. В данном случае – ее отсутствие. Чаще всего причиной внезапного выключения компьютера являются глубокие просадки и кратковременные перебои длительностью в секунды. Бюджетный бесперебойник со встроенными аккумуляторными батареями, в свою очередь, рассчитан на 10-15 минут автономной работы, чего более чем достаточно не только для предотвращения отключения при кратковременных перебоях, но и для сохранения данных и корректного выключения системы в случае длительных перебоев электроснабжения. Если же у Вас ноутбук, то в случае длительных перебоев бюджетный ИБП со встроенными аккумуляторами позволит полностью зарядить его 1-2 раза, что тоже очень полезно.

Таким образом, идеальный источник бесперебойного питания для компьютера – это устройство типа line-interactive с простым инвертором, выдающим аппроксимацию синусоиды, и встроенными аккумуляторами (как правило, установлены 1-2 батареи на 7-9Ач). Иными словами, для компьютера подойдет любой ИБП, а значит нет смысла переплачивать за избыточные характеристики, когда со своей базовой задачей справится устройство из бюджетного ценового сегмента.

Бесперебойник для компьютера не является обязательным устройством, однако невозможно отрицать, что это полезное устройство, которое избавит от хоть и редкой, но очень неприятной проблемы внезапного отключения питающей сети. Стоит также добавить, что источник бесперебойного питания помогает защитить компьютер от всплеска напряжения, переключаясь в автономный режим не только во время глубоких просадок, но и во время скачков. Это позволит избежать неприятных последствий, которые в лучшем случае выливаются в срабатывание защиты в блоке питания, а в худшем – в выход из строя материнской платы и других компонентов.

Типы ИБП. Топология источников бесперебойного питания.

Существует три основных типа источников бесперебойного питания – резервные, линейно-интерактивные и ИБП с двойным преобразованием или online (онлайн).

Типы ИБП. Резервные источники бесперебойного питания.

Резервный ИБП (Offline, Back или Standby) – самый простой тип источников бесперебойного питания, назван так, потому что в нормальном режиме работы инвертор и батареи полностью отключены от выхода источника. Переключение на работу от батарей происходит только в случае пропадания напряжения на входе ИБП либо если входное напряжение или частота выходят за допустимые пределы.

Время переключения на работу от инвертора у резервных ИБП составляет обычно сотые доли секунды. Форма выходного сигнала – простейшая аппроксимация синусоиды или меандр.

На рисунке ниже приведена структурная схема источника бесперебойного питания резервного типа.

Основными достоинствами источников бесперебойного питания резервного типа являются низкая стоимость и простота конструкции, а основными недостатками – отсутствие встроенного стабилизатора напряжения и ненулевое время переключения на работу от аккумуляторных батарей. Отсутствие стабилизатора напряжения приводит к тому, что ИБП переключается на работу от аккумуляторов при любых неполадках внешней электросети, тем самым снижается срок службы батарей. Ненулевое время переключения не позволяет использовать ИБП типа offline для защиты чувствительных нагрузок.

Как правило, ИБП резервного типа имеют небольшую номинальную мощность и применяются в основном для защиты персональных компьютеров, рабочих станций, маломощного офисного оборудования. Их использование оправдано в районах с высоким качеством электросетей.

Типы ИБП. Линейно-интерактивные источники бесперебойного питания.

Линейно-интерактивный ИБП (line-interactive, lineinteractive) – более сложный тип источников бесперебойного питания, в которых к стандартной схеме ИБП с коммутирующим устройством (резервный ИБП) добавлен автоматический регулятор (стабилизатор) напряжения, выполненный на основе автотрансфоматора с переключаемыми обмотками. На рисунке ниже приведена схема линейно-интерактивного источника бесперебойного питания.

По сравнению с источниками бесперебойного питания резервного типа линейно-интерактивные ИБП обладают одним существенным преимуществом, а именно они способны обеспечивать устойчивое питание критичной нагрузки при пониженном или повышенном напряжении без перехода на работу от аккумуляторных батарей. Тем самым значительно продлевается срок службы аккумуляторов ИБП, а значит, снижаются эксплуатационные расходы. Недостаток у линейно-интерактивных аппаратов тот же, что и у резервных – ненулевое (4мс – 6мс) время переключения на работу от аккумуляторных батарей, что не позволяет подключить к источнику чувствительную нагрузку.

По форме выходного сигнала при работе в батарейном режиме линейно-интерактивные ИБП делятся на две группы: ИБП с аппроксимированной синусоидой на выходе и ИБП с чистой синусоидой на выходе. Источники первого типа более распространены и используются в основном для защиты техники с импульсными блоками питания (компьютеры и т.д.). ИБП второго типа могут решать более широкий спектр задач и в некоторых случаях могут стать достойной альтернативой online бесперебойникам. Для примера линейно-интерактивные ИБП Lanches EA210NH отлично справляются с защитой электродвигателей, а также циркуляционных насосов отопительных систем.

Можно сказать, что линейно-интерактивные источники бесперебойного питания по своей эффективности занимают промежуточное значение между простыми и дешевыми, но обеспечивающими меньший уровень защиты, резервными ИБП и дорогими, но значительно более эффективными источниками бесперебойного питания с двойным преобразованием. Чаще всего линейно-интерактивные ИБП используют для защиты оборудования с импульсными блоками питания, такого как персональные компьютеры, рабочие станции, серверное оборудование, маломощная офисная техника.

Типы ИБП. Источники бесперебойного питания с двойным преобразованием (online).

ИБП с двойным преобразованием (double conversion, online, on-line). В основе работы ИБП данного типа лежит принцип двойного преобразования напряжения. Сначала переменное напряжение на входе источника бесперебойного питания преобразуется выпрямителем в постоянное, а затем с помощью обратного преобразователя (инвертора) постоянное напряжение преобразуется в переменное. Аккумуляторная батарея подключается к точке соединения выпрямителя и инвертора и питает последний в случае пропадания напряжения на входе ИБП. На рисунке ниже приведена схема работы онлайн ИБП.

По сравнению с другими типами ИБП online источники обладают рядом существенных преимуществ, основное из которых это отсутствие временного промежутка между пропаданием внешнего питания и началом питания нагрузки от батарей. Характеризуя данный тип ИБП, очень часто используют выражение «Время переключения 0» или «Нулевое время переключения», что в действительности не совсем корректно, однако полностью описывает суть данного преимущества.

Еще одним достоинством ИБП с двойным преобразованием является возможность корректировать не только напряжение, но и частоту на выходе источника. По сути online источники бесперебойного питания являются самыми лучшими стабилизаторами напряжения. Выходное напряжение у ИБП данного типа всегда имеет форму чистой синусоиды.

Наряду с достоинствами online ИБП присущи и некоторые недостатки, к которым можно отнести высокую стоимость (в два, три раза дороже, чем линейно-интерактивные ИБП), низкий КПД (85% – 94%), повышенное тепловыделение и высокий уровень шума.

Не смотря на некоторые недостатки, именно онлайн ИБП обеспечивают наивысший уровень защиты по энергоснабжению критичной нагрузки. Поэтому для обеспечения бесперебойного энергоснабжения таких важных и дорогостоящих устройств, как файловые серверы, промышленное оборудование, телекоммуникационные системы и т.д., используют только источники бесперебойного питания со схемой online.

🔌 ИБП KIN-1500AP RM имеет батареи с увеличенным сроком службы 📌 Обзоры POWERCOM

Не так давно к нам в руки попал ещё один товар от Powercom, а именно ББП. Нужно подметить, что этот агрегат является первым профессиональным устройством фирмы.

Обзор ИБП KING PRO RM

Бесперебойники Powercom можно поделить на 3 подгруппы по защите — стандартная, продвинутая и полная. Наш источник можно отнести к категории King Pro RM, который позволяет обеспечить продвинутую защиту системы. Заявленная мощность агрегата составляет 1500 ватт. Но в этой серии также можно найти варианты, которые обладают мощностью 600-3000 ватт.

УПС KIN-1500AP RM располагает такими свойствами:

Показатели напряжения на входе и количество герц (частотность).	От 165 до 275 Вольт, от 50 до 60 Герц, плюс-минус 10 Герц
Напряжение на выходе (при работе с батареями), количество герц (частотность)	220 В ±5% / 50 Гц ±0,5 Гц
Присутствует умная система настройки напряжения.	Повышает на 15% степень выходного напряжения во время понижения этого самого показателя уже на входе в районе от 9 до 25% от заявленного На 13% выходное напряжение становится менее значительным во время увеличения входного напряжения на 9%—25% от заявленного
Мощность на выходе	1500 ВА / 900 Ватт
Конфигурация сигнала на выходе	Многоступенная аппроксимация синусоиды
Длительности эксплуатации от одного персонального компьютера со стандартным дисплеем	Больше 12 минут, но нужно учитывать степень загруженности.
Возможность запуска без доступа электропитания:	Присутствует
Тип батарее и её электроёмкость	2×12 В / 7 А·ч — батарея из сплава кислоты и свинца, от трёх до шести лет работы без поломок.
Время подзарядки до отметки в 90 процентов	Около восьми часов
Опознавательные приборы:	Светодиодные лампы для выявления степени зарядки, также позволяет определить, работает ли ББП от сети или же от батареи. Также способна показать неисправность аппаратуры.
Звуковое оповещение	При переключении работы с сети на блок питания, оповещения о низком заряде и неисправности
Диагностика системы	Во время включения
Фильтр помех	320 Джоулей 2 мс
Фильтр радиопомех	Уменьшение 10 дБ на 0,15 МГц, 50 дБ на 30 МГц
Предостережение и защита от шанса короткого замыкания	Многоступенчатый предохранитель
Защитный элемент для предотвращения перегрузки инвертора	Полностью электронная защита. Инвертор выключится сам в том случае, когда напряжение достигнет отметки 110% от необходимого значения в промежутке 60 секунд или 130% в промежутке трёх последующих секунд
Порты	4×IEC320-разъёмы для поступления питания по бесперебойной линии 2×IEC320-разъёсы фильтра сети
Передача данных и средства их защиты	Есть совмещение с UTP десять Base-T, 2 порта RJ-45
Интерфейс	ЮСБ, RS-232
Размеры UPS Ш×Д×В	16 килограмм 300 грамм
Уровень шума	Меньше 40 дБА
Работа аппарата	0—95% 0 – +40 градусов по Цельсию (20 °C по рекомендации производителя)

Состав комплектации KIN-1500AP RM и гарантийные сроки 

ББП предоставляется своим покупателям в специальной коробке из картона, которая имеет в своём экстерьере определённое оформление с точки зрения технологического процесса, которое обозначает, что товар не выставляется на продажу. Габариты коробки: 580×520×210 мм, общий вес — 19,3 килограмм. Коробка располагает в своей структуре ручками с вырезами. Бесперебойник фиксируется специальными вставочными элементами.

 

Комплектация KIN-1500APRM:

• Руководство пользователя полностью на нашем языке
• Покупательский сертификат
• Электролиния для присоединения УПС к питанию
• Высоковольтный элемент для подключения конечного инвентаря
• Провод ЮСБ A-B
• Провод RS-232
• Провод RJ-11
• специальные приспособления для крепежа к стойке
• Элементы для крепежа ручек, 8 штук
• CD с ПО UPSMON v.2.86

Маркировка KP RM предоставляется со всего лишь одним кабелем для соединения. Но и без этого комплектация вполне хорошая. Дополнительные ознакомительные бумаги сделаны достойно.

Во время покупки данного агрегата покупатель точно получит гарантию 60 месяцев на электронику и 12 месяцев на батареи со дня покупки. Если произошла поломка, то вы можете обратиться в сервис, где котором вам обязательно помогут.

Внешние характеристики и экстерьер UPS KIN-1500AP RM

 

Строение источника питания цельнометаллическое с преобладающим черным оттенком, размер 2U. Есть возможность крепления на телекоммуникационную подставку с помощью ручек. Ножек у этого варианта UPS нет.

Лицевая панель ИБП KIN-1500AP RM

 

Если мы обратим внимание на левую её сторону, то сможем увидеть кнопку power и 5 различных световых приборов. Они помогают определить режим работы блок питания, а также исходное напряжение и различные неисправности аппарата. Также можно отметить, что кнопка Power имеет защиту от случайного воздействия.

Тыльная панель ИБП KIN-1500AP RM

Если мы будем рассматривать заднюю панель, то сможем увидеть несколько разъёмов, которые предназначены как для подсоединения питания от энергосети, так и для подключения иных приборов для различных нужд. В области сетевых разъёмов располагается предохранительный элемент, рассчитанный на 10 Ампер, который работает автоматически. Там же мы сможем найти несколько разъёмов USB (типа B) и RS-232 для присоединения к ПК. В корпусе есть два порта RJ-45.

Внутренний интерфейс KIN-1500AP RM

Теперь стоит рассмотреть внутренний интерфейс этого источника бесперебойного питания. Стоит отметить, что все его детали располагаются строго по горизонтали. Это отличное решение, которое позволило сделать аппарат менее высоким. Так же по горизонтали располагаются и аккумуляторы. В центре располагается основная плата, а вот интерфейсная и защитная плата уже установлены на тыльной стороне корпуса. Стенки выполнены таким образом, чтобы обеспечить оптимальную температуру системы на постоянной основе.

 

Батарея для УПС KIN-1500AP RM:

Батарейный отсек включает в себя 2 аккумулятора, которые обладают форм фактором REW 45-12от компании Yuasa, которые имеют ёмкости 8 А·ч, и силу напряжения в 12 В. Серию REW можно выделить ещё за счёт того, что она предлагает своему пользователю бесперебойника с функцией работы с высоким напряжением, при этом не расходуя запасы аккумуляторов.

 

Смена батареи в ИБП:

Если аккумуляторы вышли из строя во время длительной эксплуатации, то у вас есть два варианта его замены. Производитель рекомендует обратиться в сервисный центр для того, чтобы профессионалы сделали эту работу за вас. Но вы можете и сами спокойно и без особых проблем заменить аккумуляторы. Для самостоятельной замены необходимо иметь допуск для работы с высоким напряжением. Но при этом нужно соблюдать все необходимые меры безопасности, это крайне важно. Чтобы это сделать, нужно открутить винты с боковой стороны блока, чтобы у вас была возможность открутить крышку. Потом вы раскручиваете ещё три винта, которые фиксируют саму батарею. После этого вы меняете его на аналогичный и присоединяете тем же способом. Обязательно следите за тем, чтобы сам аппарат был отключён от сети.

 

Схемотехника ИБП KIN-1500APRM:

В ББП можно выделить то, что все микросхемы располагаются на общей плате. Если рассматривать отдельную плату, то там можно найти такие интерфейсы, как USB и RS-232. Также не забываем, что на всех платах присутствует специальная защита, которая поможет предотвратить поломку. Плата KR-801 rev3.0 была спроектирована 07.12.2001, а серийный выпуск начался в июле 2009-го. Данная плата работает с различными блоками бесперебойного питания. Разъём RS-232 проведён на лицевую сторону конструкции с помощью портов USB, а блок защиты RJ-45 остался внутри, как и кнопка выключения вместе со светодиодом.  Задняя часть имеет в своём арсенале защиту RJ-45.

Инвертор расположен на плате, которая располагает низкочастотной характеристикой. Силовые транзисторы, которых в корпусе всего шесть штук (но и этого сполна хватает) находятся на радиаторе, который имеет площадь в 400 см². Радиатор находится в центре платы. Транзистор подключается с помощью резиновых креплений, которые в случае чего смогут предотвратить перенапряжение системы.

Плата KIN-1500AP RM

Конечно, рядовой пользователь подметит, что особых проблем у этого UPS нет. Но нам кажется с нашей сугубо личной точки зрения, что недостатком блока является его не слишком большая площадь радиатора.

Элементы защиты УПС KIN-1500AP RM: 

 

Защита RJ-45 сделана в виде нескольких разъёмов знакомого типа RJ-45, которая позволяет обеспечить отличную защищённость сетей. У данной системы заземления в своей системе.

Работа от сетевого питания

Наш ББП имеет на борту систему AVR, позволяющая регулировать степень напряжения в режиме «лайв». Оно на полностью автоматической основе регулирует напряжение на входе и подстраивает его до оптимальных значений.

Выходное напряжение у нашего «подопытного» варьируется в районе от 186 до 235 Вольт, при этом стоит учитывать импульсы сети в 170 и вплоть до 270 Вольт.

Чтобы понять, насколько хорошо работает AVR и сам инвентор, мы провели опрос среди покупателей этого ИБП.  Мы смогли провести такую статистику:

От 209 до 242 Вольт — Отлично
От 198 до 253 Вольт — Хорошо
От 187 до 264 Вольт — Удовлетворительно
187 Вольт, 264 Вольт — Плохо

Работоспособность KIN-1500AP RM от батареи

Если УПС работает от батареи, которая крайне сильно разряжена, то происходит определённый звук, который длится примерно пол секунды.

Всего лишь за 10 миллисекунд питание переключилось на батарею. Данные результаты является удовлетворительными по меркам исследований.

Также стоит отметить, что в случае полной нагрузки аппарата в 900 ватт происходит незначительное изменение выходного сигнала. Поэтому этот тест БП прошёл отлично.

Для того, чтобы проверить работоспособность аппарата в действии, мы решили его проверить под разным количеством воздействия входного сигнала. Резисторы были нагружены на 40, 60, 80 и 100 процентов от номинала ЮПС. Поэтому в ходе исследования мы получили такие нагрузки: 360 Вт, 540 Вт, 720 Вт, 900 Вт.

Инвертор приблизился по показателям к инвертору ИБП Powercom Imperial. Можно увидеть некоторые проседания системы в нагрузках в 80 процентов и выше. 700 Ватт – это количество нагрущки, которая является рекомендуемой.

Исследование на реальной нагрузке:

Мы смогли провести лишь один тест в режиме реальной нагрузки. Это связано с сокращением методик проведения тестов для ББП (видеоролик ссылка). Наш рабочий аппарат подвергся некоторой замене комплектующих, которые вы можете наблюдать сейчас:

CPU — AMD Атлон 64 3200+
Материнская плата — Elitegroup NForce6M-A
Память — Две плашки по 512 МБ каждая от компании Патриот
Видеокарта — ATI Radeon X700
Монитор — 17 дюймов  iiyama Vision Master 407
ЖД — Samsung HD322HJ
ДВД привод — ASUS DRW-1608PS2
БП — FSP 400 Ватт

Во время показа видеоролика через специальную систему DVD привода блок питания показал довольно достойные результаты. Он смог проработать в полноэкранном режиме около 42 минут до того момента, пока система не издала специальный звук о том, что батарея находится в состоянии минимального питания. После этого система ещё работала почти 9 с половиной минут. По нашему мнению, этот результат является более чем удовлетворительным и можно с полной уверенностью заявить, что батарея имеет хороший потенциал для работы с большим напряжением.

Для того, чтобы понять то, насколько результаты могут быть идентичны, сравним ещё несколько замеров на идентичном железе. Вы можете без проблем рассмотреть нашу диаграмму. В любом случае, при работе УПС от батареи агрегат показывает достойные результаты.

Ёмкость и зарядка батареи KIN-1500APRM

Следует понимать, что определённые параметры зарядки могут сильно повлиять на износ батареи. Поэтому нужно учитывать много факторов при выборе зарядки для ББП. В нашем случае можно порекомендовать зарядный ток, мощностью примерно в 2 Ампера. Проверка была сделана один раз после того, как блок был разряжен до конца, на мощности в сорок процентов. Красным цветом можно увидеть ток заряда, а жёлтым – степень напряжения на батарее.

В начале ток заряда варьировался в районе 700 миллиампер, и в последующие 6 ч. находился в радиусе 600 миллиампер. А вот в последующие два часа это число упало до 100 миллиампер. То есть можно сделать вполне логичный вывод, что заряд до 90 процентов прошёл за восемь часов. По нашему мнению, это довольно отличные показатели.

Напряжение в конце у нас равнялось 27,5 Вольтам. Это максимально хорошие показатели по сравнению с другими моделями ups.

Холодный старт и производительность с APFC (UPS KIN-1500AP RM)

Чтобы проверить нашу систему холодного запуска ББП, агрегат находился в полной нагрузке, но без прямой работы от сети питания. Поэтому наш аппарат был включен при заявленной нагрузке. Инвертор стал работать в заявленном режиме через примерно 200 миллисекунд. Конечно, для электронных гаджетов ожидается более быстрый старт. Но в принципе можно сказать, что этот результат нас полностью устраивает и является довольно неплохим. Наша оценка – удовлетворительно.

Осциллограмма, которая показывает процесс холодного старта блока питания:

Чтобы проверить совместимость ББП, которые имеют PFC и обширный спектр входного напряжения, то есть автоматический вольтаж, наш УПС был сконекчен с блоком питания от FSP на 550 ватт, что уже является более мощным железом в наших тестах, чем на рабочем стенде. Суть его в том, что он имеет довольно обширный спектр напряжений на входе, начиная от 100 и заканчивая 240 Вольтами. Также он имеет функцию PFC, как этого и требует тест. Нареканий по работе стенда не было.

Интерфейс соединения ИБП KIN-1500AP RM с компьютером и ПО

Чтобы подключить нашу систему к пк, бесперебойник имеет в наличии интерфейсы ЮСБ и RS-232. Чтобы проверить интерфейсы связи с PC блок решили подключить с помощью первого предлагаемого порта. Виндовс 7 смогла определить и подключить следующее ПО:

Блок бесперебойного питания имеет поддержку Smart Batter. Конечно, можно отметить, что некоторые настройки наших батарей нет возможность контролировать самостоятельно. Но в любом случае вам не придётся устанавливать прочее ПО.

Свойства работы SmartBattery для нашего БП KIN-1500APRM

Вы можете увидеть всю подробную информацию о работе этого софта с помощью фото, которое прикреплено выше. Программа RMClock позволит вам в полной мере увидеть всю возможную статистику софта и прочую полезную информацию.

ПО UPSMon +

Вывод обзора модели KIN-1500AP RM

PCM KIN-1500AP RM это ББП, который является профессиональной моделью для стартового уровня. Но несмотря на это, агрегат работает без перебоев на своей заявленной мощности. Вывод таков: если не злоупотреблять входным сигналом и соблюдать все правила, которых просит придерживаться производитель, то ЮПС может прослужить вам верой и правдой все десять лет безперебойно.

Плюсы KIN-1500AP RM:

• Батареи отменного качества, которые можно менять для увеличения ёмкости системы
• Комплект креплений для установки в серверную стойку
• Умный режим заряда батарей, который позволяет продлить срок службы АКБ.

Минусы KIN-1500AP RM:

• При повышении уровня нагрузки, порог входного напряжения повышается до 192 В
• Во время понижения энергии до 165 В на выход БП предоставляется напряжение в 186 В
• Нельзя отключить режим пониженной затраты энергии.

По материалам: “iXBT”

Видео-вопрос: линейная аппроксимация синусоидальной функции

Стенограмма видеозаписи

Определив, что линейная аппроксимация функции от 𝑥 равна sin 𝑥 при подходящем значении 𝑥, оцените значение sin 3,14.

Вопрос требует, чтобы мы оценили значение sin 3,14, найдя линейное приближение функции 𝑓 of, равное sin 𝑥 при подходящем значении 𝑥. Напомним, что линейное приближение лучше всего, когда мы выбираем значение, близкое к тому, что пытаемся оценить.Поскольку мы пытаемся оценить грех в 3,14, мы должны выбрать значение около 3,14. Итак, мы выберем наше линейное приближение относительно точки 𝑥 равным 𝜋. Напомним, если функция 𝑓 дифференцируема в точке 𝑥 и равна 𝑎, то касательная прямая 𝐿 к 𝑓 в точке 𝑎 равна 𝑓, вычисленной в плюс простое число, вычисленное в 𝑎, умноженном на 𝑥 минус 𝑎.

Мы используем касательную в качестве линейного приближения. Если мы установим 𝑓 равным греху, и мы установим нашу точку 𝑎 равной 𝜋, то наша линейная аппроксимация синусоидальной функции относительно будет выражаться грехом плюс производная sin, вычисленная при умножении. пользователя 𝑥 minus 𝜋.Напомним, производная по греха равна cos. Это дает нам производную sin от, вычисленную в 𝜋, и cos от. Сложив все это вместе, мы получаем, что касательная линия синусоидальной функции в равна греху 𝜋 плюс cos, умноженному на 𝑥 минус 𝜋.

Мы могли бы еще больше упростить это. Мы знаем, что грех просто равен нулю, а cos равен отрицательной единице. Это дает нам ноль плюс отрицательную единицу, умноженную на минус 𝜋.Мы можем упростить это снова, распределив отрицательное значение в круглых скобках, что дает нам отрицательный плюс 𝜋, который мы можем переставить, чтобы получить нам 𝜋 минус 𝑥. Итак, мы нашли касательную линию к синусоидальному графику, когда 𝑥 равно 𝜋. Это означает, что если бы мы изобразили график, равный греху, то мы можем нарисовать наш график 𝐿 для 𝑥, который дает нам касательную линию, когда 𝑥 равно 𝜋.

И мы видим, что наша линия и наша кривая очень близки вокруг 𝑥, равного 𝜋.Итак, мы можем использовать нашу линию для аппроксимации греха 3,14. Таким образом, использование линейного приближения дает нам sin 3,14, приблизительно равный нашей линии, оцененной в 𝑥, равной 3,14. И чтобы вычислить это, мы просто подставляем 𝑥, равное 3,14, в наше уравнение для линии. Это дает нам минус 3,14. Следовательно, мы показали, используя линейную аппроксимацию синусоидальной функции около 𝜋, мы можем оценить значение sin 3,14 как минус 3,14.

Аппроксимация синуса для малых углов

Для малых углов sin (θ) приблизительно равен θ.В этой статье мы подробно рассмотрим это знакомое приближение.

Я был сбит с толку, когда впервые услышал, что sin (θ) ≈ θ для малых θ. Я подумал: «Конечно, они примерно равны. Все маленькие числа примерно равны друг другу ». Еще меня смутила сноска «Угол θ должен измеряться в радианах». Если приближение просто говорит, что маленькие углы имеют маленькие синусы, не имеет значения, в радианах вы или в градусах. Я пропустил точку , как я полагаю, большинство студентов.Я сталкиваюсь с людьми, получившими дипломы по математике или естествознанию, не понимая этого лакомого кусочка на первом курсе.

Дело в том, что ошибка приближения sin (θ) ≈ θ мала, даже относительно размера θ . Если θ мало, ошибка приближения sin (θ) ≈ θ действительно очень мала. Я использую фразу «действительно, действительно» в точном смысле; Я говорю не просто как восьмилетний ребенок. Если θ мало, θ ² действительно мало, а θ ³ действительно, очень мало.

Для малых значений θ, скажем θ <1, разница между sin (θ) и θ очень близка к θ ³ /6, и поэтому абсолютная ошибка действительно очень мала. Относительная погрешность составляет около θ ² /6. Если абсолютная ошибка действительно очень мала, относительная ошибка действительно мала.

Приближение sin (θ) ≈ θ взято из ряда Тейлора, , но на происходит нечто большее. Например, логарифм аппроксимации (1 + x ) ≈ x также происходит из ряда Тейлора, но это приближение не так точно.

Ряд Тейлора для журнала (1 + x ) –

x – x ² /2 + x ³ /3 -…

Это означает, что для малых x лог (1 + x ) составляет приблизительно x , а ошибка приближения составляет примерно x ² /2. Таким образом, если x мало, абсолютная ошибка аппроксимации действительно мала, а относительная ошибка мала. Обратите внимание, что это на единицу меньше «реально», чем аналогичное утверждение о синусах.

Причина, по которой синусоидальное приближение «действительно» лучше логарифмического приближения, состоит в том, что синус является нечетной функцией, поэтому его ряд Тейлора имеет только нечетные члены. Ошибка примерно в первом пропущенном члене. Ряд для sin (θ) равен

.

θ – θ ³ /3! + θ ⁵ /5! -…

, поэтому sin (θ) – θ имеет порядок θ ³ , а не только θ ² .

Можно сказать и больше . Ошибка в sin (θ) ≈ θ не только приблизительно θ ³ /6, но и фактически ограничена θ ³ /6 для малых положительных θ.Это происходит из теоремы о знакопеременных сериях. Когда вы делаете приближение на основе чередующегося ряда Тейлора , ошибка ограничивается первым членом, который вы не учитываете. Аргумент должен быть достаточно малым, чтобы члены ряда уменьшались по абсолютной величине. Например, если вы вставите θ = 1 в ряд для синуса, каждый член ряда будет меньше предыдущего. Но если вы придерживаетесь θ = 2, тогда члены будут больше, прежде чем уменьшаться. Таким образом, точное значение слова «достаточно маленький» достаточно мало, чтобы члены чередующегося ряда уменьшались по абсолютной величине.

Ряд для журнала (1 + x ) также чередуется, поэтому оценка ошибки также является верхней границей ошибки в этом случае. Не все серии являются чередующимися сериями. Но когда у нас есть чередующийся ряд, мы получаем бонус в виде возможности контролировать погрешность приближений.

Также верно, что для малых θ cos (θ) приблизительно равен 1. Сначала это может показаться аналогом утверждения, что для малых θ sin (θ) приблизительно равен 0. Хотя оба верны, первое намного лучше.

Ряд для косинуса –

1 – θ ² /2! + θ ⁴ /4! -…

, поэтому ошибка аппроксимации cos (θ) с помощью 1 составляет приблизительно θ ² /2. Фактически, поскольку ряды чередуются, ошибка составляет , ограниченную θ ² /2, если θ достаточно мало. И в этом случае относительная погрешность примерно равна абсолютной погрешности. Это говорит о том, что для малых θ приближение cos (θ) ≈ 1 действительно очень хорошее. Напротив, утверждение, что sin (θ) ≈ 0 для малых θ, является плохим приближением: абсолютная ошибка составляет приблизительно θ, а относительная ошибка составляет 100%.Округление малых значений θ до 0 дает очень хорошее приближение в одном контексте и плохое приближение в другом контексте.

Похожие сообщения

Для ежедневных публикаций об анализе подписывайтесь на @AnalysisFact в Twitter.

Фурье, часть 6

Фурье, часть 6

Аппроксимации Фурье и музыка

Часть 6: Аппроксимации Фурье для общих функций произвольного периода

В ходе обсуждения в частях 2–5 мы сосредоточились на периодических функциях с периодом 2 * pi .Это произошло потому, что функции синуса и косинуса представляют самые основные периодические движения, и эти функции имеют период 2 * pi . Однако большинство периодических функций имеют периоды, отличные от 2 * pi . Подумайте о периоде функции давления, соответствующей ноте, сыгранной на гитаре, которую мы исследовали в Части 2.5.

Эта функция имеет основной период примерно 1/440 секунд.

В этой части модуля мы исследуем, как расширить нашу стратегию приближения, чтобы включить периодические функции с произвольными периодами.

Как мы уже отмечали ранее, мы использовали периодические тригонометрические полиномы 2 * pi для аппроксимации периодических функций 2 * pi . Теперь предположим, что у нас есть функция, которая является периодической 2L . (Даже для произвольного периода нам будет удобно выразить период как кратное 2 .) В частности, предположим, что функция, которую мы хотим аппроксимировать, имеет период 10 , то есть L = 5 . Итак, если мы посмотрим на график этой периодической функции, она завершит один полный период на интервале от -5 до 5 .

Мы начнем с решения, какие основные тригонометрические функции мы должны использовать для наших приближений в этой настройке.

1. Изобразите функцию sin (t) на интервале от -pi до pi и функцию sin (2 * (pi / 10) * t) на интервале от -5 до 5 . Что вы наблюдаете?
2. Изобразите график функции cos (2t) на интервале от -pi до pi .Определите и изобразите соответствующую функцию 10 -периодического косинуса, то есть такую, которая имеет график той же формы, что и график cos (2t) в интервале от -5 до 5 .
3. Найдите 10 -периодических функций, которые соответствуют cos (3t) и sin (5t) .
4. Какое значение w такое, что sin (кВт) и cos (кВт) на [-5, 5] соответствуют sin (kt) и cos (kt) на [-pi, pi] ?
5. Найдите значение w такое, что sin (кВт) и cos (кВт) на [-L, L] соответствуют sin (kt) и cos (kt) на [ -пи, пи] .Проверьте свой ответ с k = 3 и двумя разными значениями L .
6. Найдите значение w так, чтобы функция f (t) = cos (wt) имела период 1/440 секунды.

Основываясь на том, что мы узнали на шагах 1-6, мы аппроксимируем периодические функции 2L тригонометрическими полиномами, построенными из постоянных членов a ₀ и членов формы a _k cos (k ( pi / L) t) и b _k sin (k (pi / L) t) , где k = 1, 2, 3, …

Теперь вопрос в том, как определить и вычислить коэффициенты a ₀ , a _k и b _k в этой общей настройке.

7. Если f является периодической функцией 2 * pi , то

   Дайте геометрическую интерпретацию значения a ₀ , т.е. что вы обнаружите, когда интегрируете функцию по интервалу и делите результат на длину интервала?

8. Запишите соответствующую формулу для a ₀ в случае, если f является периодической функцией 2L .

Если f – периодическая функция 2 * pi , мы знаем, что

Фактор 1 ​​/ pi перед интегралами, полученный в результате вычислений

9. Вычислить интегралы

   с помощью подстановки для преобразования интегралов в ранее вычисленные. Используйте свою систему символьной алгебры, чтобы проверить свои вычисления.

Из этой информации мы можем построить аппроксимирующие многочлены

или

по формулам

Теперь рассмотрим приближения периодических функций произвольного периода, полученные с помощью этих тригонометрических полиномов.

10. Пусть f будет функцией, определенной как f (t) = t ² для t между -1 и 1 ​​

    и продлен на периодичность 2 . Постройте приближающие многочлены и сравните графики многочленов с графиком исходной функции.

11. Пусть f будет функцией, определенной как f (t) = t для t между -1/220 и 1/220

    и продлен до периода 1/110 .Постройте приближающие многочлены и сравните графики многочленов с графиком исходной функции.

Иногда «естественная» область определения периодической функции не является интервалом, симметричным относительно начала координат. Например, в следующей части этого модуля мы рассмотрим периодические изменения в популяции канадской рыси в течение 19 ^-го века. Здесь естественный периодический интервал численности населения как функция времени – это интервал между 1821 и 1861 годами.Теперь мы рассмотрим, как определить приближающие тригонометрические полиномы в этом случае.

Чтобы быть более точным, предположим, что мы можем сказать, что функция f является периодической и что она завершает одно фундаментальное изменение на интервале [c, d] . Таким образом, f является периодическим с периодом d – c и не периодическим с каким-либо более коротким периодом.

12. Напишите интегральные формулы для коэффициентов a ₀ , a _k и b _k аппроксимирующих полиномов в терминах c , d (и L = г – в) / 2 .
13. Пусть f будет функцией, определенной как f (t) = exp (t / 3) для t между 1 ​​ и 4

    и продлен на периодичность 3 . Постройте приближающие многочлены и сравните графики многочленов с графиком исходной функции. Покажите хотя бы три таких сравнения.

---

Как предсказать переменную синусоиду в Python | Анжелика Ло Дука

В этом руководстве описывается, как предсказать переменную синусоиду в Python.Во-первых, некоторые синусоидальные данные загружаются из файла CSV. Затем данные формируются в виде синусоидальной кривой. После этого используется линейная регрессия для моделирования минимальных и максимальных пиков. Наконец, смоделированные линии используются для расчета следующих пиков.

Полный код можно загрузить из моего репозитория Github: https://github.com/alod83/data-science/tree/master/DataAnalysis/tourism

Анализ данных: прибытие в туристические объекты размещения, извлеченные из https: // ec.europa.eu / eurostat / web / tourism / data / database

Загрузить данные из CSV и очистить их

Сначала мы читаем файл CSV и выбираем только данные, относящиеся к Италии ( df [df ['geo'] == ' IT '] ) в виде чисел ( df [df [' unit '] ==' NR '] ) и относится к сумме всех доступных данных (внутренние и внешние поступления) ( df [df [ 'c_resid'] == 'ИТОГО'] ).

Затем убираем ненужные столбцы через функцию drop () . Обратите внимание, что мы передаем параметр inplace = True для сохранения эффектов в исходной переменной df .

 импортировать панды как pd 
 df = pd.read_csv ('data / eurostat.csv') 
 df = df [df ['geo'] == 'IT'] 
 df = df [df ['unit'] = = 'NR'] 
 df = df [df ['c_resid'] == 'TOTAL'] 
 df.drop (['c_resid', 'unit', 'nace_r2', '2019M11', 'geo'], ось = 1, inplace = True) 
 df = df.reset_index () 
 df.drop (['index'], axis = 1, inplace = True) 

Теперь мы можем исправить некоторые ошибки в данных: некоторые строки содержат символ : , что означает отсутствие данных. Остальные строки содержат букву b .Меняем : на 0 и удаляем букву b .

 columns = df.columns [:: - 1] 
 для столбца в столбцах: 
 для строки в диапазоне (1, len (df [столбец])): 
 если «b» в df [столбец] [строка]: 
 df [столбец] = df [столбец] [строка] [: - 2] 
 если «:» в df [столбец] [строка]: 
 df [столбец] [строка] = «0» 

Теперь мы вычисляем сумма по столбцам, чтобы получить общее количество прибытий за каждый месяц. Мы сохраняем результаты в переменной y .

 y = [] 
 для столбца в столбцах: 
 df [столбец] = df [столбец] .astype (str) .astype (int) 
 y.append (df [столбец] .sum ()) 

Данные графика для понимания тенденции данных

Мы построим график и , чтобы понять линию тренда. Строим вспомогательный вектор X , содержащий все месяцы. Месяц 0 относится к генуарию 1990 года. Чтобы отображать метки x на графике каждые 5 лет, мы создаем две вспомогательные переменные: x_ticks и x_labels .

 import matplotlib.pyplot as plt 
 import matplotlib 
 import numpy as np 
 X = np.arange (0, len (columns)) step = 5 
 x_ticks = np.arange (0, len (columns) + step, step, step = 12 * шаг) 
 x_labels = [] 
 x_labels.append (1990) 
 для i в диапазоне (1, len (x_tick) +1): 
 x_labels.append (x_labels [i-1] + step) 
 plt. xticks (x_ticks, x_labels) 
 plt.plot (X, y, color = "red", linewidth = 1) plt.grid () 
 plt.xlabel ('Months') 
 plt.ylabel ('Number of arrivals') plt.show () 

Отметим, что за последние 8 лет произошло увеличение максимальных пиков по сравнению с предыдущими годами.Таким образом, мы ограничиваем наш анализ последними 8 годами. Это означает, что мы должны пропустить первые 22 года. Сбрасываем X и y для работы только с прошлыми годами.

 skip = 22 * ​​12 
 X = X [skip:] 
 y = y [skip:] 

Приближенные данные с синусоидой

Теперь мы можем аппроксимировать данные с помощью синусоиды. Уравнение синусоиды: A * np.sin (омега * x + фаза) + смещение , где:

• | A | указывает амплитуду, то есть половину расстояния между максимальным и минимальным значениями функции
• омега – это количество циклов между 0 и 2pi.Период T равен 2pi / omega
• , фаза – горизонтальный сдвиг
• - сдвиг – вертикальный сдвиг, то есть сумма между минимальным пиком и амплитудой. Вот некоторые подробности о смещении: https://www.ck12.org/book/ck-12-precalculus-concepts/section/5.4/

Для получения более подробной информации о синусоидах вы можете взглянуть на: https: // mathbitsnotebook.com/Algebra2/TrigGraphs/TGsinusoidal.html.

 def sinusoid (x, A, offset, omega, phase): 
 return A * np.sin (omega * x + phase) + offset 

Мы также определяем начальные значения для синусоиды. Устанавливаем период T = 12 , т.е. количество месяцев в году. Если период неизвестен, мы должны его рассчитать. Мы могли бы использовать быстрое преобразование Фурье. По этим ссылкам вы можете найти более подробную информацию об этом аспекте: https://stackoverflow.com/questions/16716302/how-do-i-fit-a-sine-curve-to-my-data-with-pylab-and- numpy, https://www.oreilly.com/library/view/elegant-scipy/9781491922927/ch04.html и https: // docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.fft.fft.html.

 T = 12 
 def get_p0 (x, y): 
 A0 = (max (y [0: T]) - min (y [0: T])) / 2 
 offset0 = y [0] 
 phase0 = 0 
 omega0 = 2. * np.pi / T 
 return [A0, offset0, omega0, phase0] 
 

Теперь мы готовы аппроксимировать наши данные синусоидой. Мы используем функцию curve_fit () , предоставленную scipy . Мы строим результаты. Дополнительные сведения о функции curve_fit () см. На странице https: // docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.curve_fit.html.

 из scipy.optimize import curve_fit 
 import math 
 param, covariance = curve_fit (sinusoid, X, y, p0 = get_p0 (X, y)) step = 1 
 x_ticks = np.arange (skip, skip + len (X ) + шаг + 12, шаг = 12 * шаг) 
 x_labels = [] 
 x_labels.append (2012) 
 для i в диапазоне (1, len (x_tick) +13): 
 x_labels.append (x_labels [i-1 ] + step) 
 plt.xticks (x_ticks, x_labels) 
 plt.ylabel ('Number of arrivals') 
 plt.plot (X, y, color = "red", linewidth = 1, linestyle = 'dashed') 
 plt.plot (X, sinusoid (X, * param), color = «blue», linewidth = 1) 
 plt.show () 

Мы аппроксимировали наши данные синусоидой с постоянным значением A . В нашем случае амплитуда A и смещение являются переменными. Идея состоит в том, чтобы вычислить все максимальные и минимальные пики в наших данных. Затем мы можем использовать их разность для вычисления вектора амплитуд и передать их функции синусоиды () .

Мы определяем функцию get_peaks () , которая вычисляет пики массива.Мы выбираем массив каждые T элементов и вычисляем пик в пределах каждого T .

 def get_peaks (y, metrics): 
 n = int (math.ceil (len (y) / T)) 
 step = 0 
 x_peaks = [] 
 y_peaks = [] 
 для i в диапазоне (0, n ): 
 peak_index = y.index (metrics (y [step: step + T])) 
 x_peaks.append (peak_index + skip) 
 y_peaks.append (y [peak_index]) 
 step = step + T 
 return [x_peaks , y_peaks] 

Рассчитываем максимальные и минимальные пики.

 min_peaks = get_peaks (y, min) 
 max_peaks = get_peaks (y, max) 

Теперь мы можем вычислить массив амплитуд и смещений.

 A = [] 
 смещение = [] 
 для i в диапазоне (0, len (min_peaks [1])): 
 c_a = (max_peaks [1] [i] - min_peaks [1] [i]) / 2 
 c_offset = min_peaks [1] [i] + c_a 
 для j в диапазоне (0, T): 
 A.append (c_a) 
 offset.append (c_offset) 
 # последние два месяца 2019 года недоступны 
 A = A [: - 2] 
 offset = offset [: - 2] 

Поскольку A и offset являются новыми функциями, мы должны добавить их как переменные. Таким образом, мы определяем новую переменную features , которая определяет новые входные характеристики нашей модели.Затем мы определяем функцию variable_sinusoid () , которая принимает на вход функции.

Единственные параметры, возвращаемые нашей моделью: omega и phase , поэтому мы модифицируем также функцию get_p0 () с начальными значениями omega и phase . Новая функция называется variable_get_p0 () .

 features = [X, A, offset] 
 def variable_sinusoid (features, omega, phase): 
 x = features [0] 
 A = features [1] 
 offset = features [2] 
 return A * np.sin (omega * x + phase) + offsetdef variable_get_p0 (x, y): 
 phase0 = 0 
 omega0 = 2. * np.pi / T 
 return [omega0, phase0] 

Мы подбираем модель и строим результаты.

 param, covariance = curve_fit (variable_sinusoid, features, y, p0 = variable_get_p0 (X, y)) 
 plt.xticks (x_ticks, x_labels) 
 plt.ylabel ('Number of arrivals') 
 plt.plot (X, y, цвет = "красный", ширина линии = 1, стиль линии = 'пунктирная') 
 plt.plot (X, variable_sinusoid (features, * param), color = "blue", linewidth = 1) 
 plt.show () 

Предскажите будущие значения переменной синусоиды

Следующий шаг включает прогнозирование следующей синусоиды, то есть синусоиды на 2020 год. Для этого нам нужно вычислить следующие максимальные и минимальные пики. Мы можем сделать это, аппроксимируя вектор максимальных и минимальных пиков двумя линейными регрессиями соответственно. Затем мы можем вычислить максимальный пик в момент i (август 2020 г.) как значение y максимальной линейной регрессии, заданной в момент (i-1) + pi (i-1 представляет август 2019 г.).Аналогичным образом мы можем рассчитать минимальный пик для 2020 года.

Во-первых, мы изменяем форму пиков, которые будут переданы в линейную модель. Затем мы строим две линейные модели, по одной для каждой линии прогнозирования, используя sklearn class LinearRegression () . После этого мы подбираем каждую модель с помощью функции fit () .

 из sklearn import linear_model 
 # reshape x_peaks 
 x_min_peaks = list (map (lambda el: [el], min_peaks [0])) 
 x_max_peaks = list (map (lambda el: [el], max_peaks [0])) # min model 
 model_min = linear_model.LinearRegression () 
 model_min.fit (x_min_peaks, min_peaks [1]) 
 # max model 
 model_max = linear_model.LinearRegression () 
 model_max.fit (x_max_peaks, max_peaks [1]) 

next_peaks, min_peaks [1] и x_min_peaks , а затем мы прогнозируем максимальные и минимальные пики с помощью функции pred () .

 x_min_peaks.append ([x_min_peaks [len (x_min_peaks) -1] [0] + T]) 
 x_max_peaks.append ([x_max_peaks [len (x_max_peaks) -1] [0] + T]) 
 y_pred_min.прогнозировать (x_min_peaks) 
 y_pred_max = model_max.predict (x_max_peaks) 

Мы строим две линии прогнозирования.

 plt.xticks (x_ticks, x_labels) 
 plt.plot (X, y, color = "red", linewidth = 1, linestyle = 'dashed') 
 plt.scatter (x_min_peaks, y_pred_min, color = "green", linewidth = 1, linestyle = 'dashed') 
 plt.scatter (x_max_peaks, y_pred_max, color = "green", linewidth = 1, linestyle = 'dashed') 
 plt.ylabel ('Number of arrivals') 
 plt.grid () 
 plt.show () 

Рассчитываем синусоиду для всего периода, включая 2020 год.Мы создаем переменную X_pred , которая содержит X и 12 месяцев 2020 года.

 X_pred = np.array (X) 
 month = X_pred [len (X_pred) -1] 
 для i в диапазоне (0, T): 
 X_pred = np.append (X_pred, month) 
 month = month + 1 

Теперь мы можем обновить переменную features_pred , которая будет передана в функцию variable_sinusoid () . Сначала мы обновляем амплитуду A и смещение новыми значениями, а затем обновляем переменную features_pred .

 index = len (max_peaks [0]) - 1 
 c_a = (max_peaks [1] [index] - min_peaks [1] [index]) / 2 
 c_offset = min_peaks [1] [index] + c_a 
 for j in range (0, T): 
 A.append (c_a) 
 offset.append (c_offset) 
 features_pred = [X_pred, A, offset] 

Наконец, мы строим графики.

 plt.xticks (x_ticks, x_labels) 
 plt.plot (X, y, color = ”red”, linewidth = 1, linestyle = 'dashed') 
 plt.plot (X_pred, variable_sinusoid (features_pred, * param), цвет = «синий», ширина линии = 1) 
 пт.grid () 
 plt.ylabel ('Number of arrivals') 
 plt.savefig («data / sinusoid.png») 
 plt.show () 

В этом руководстве я проиллюстрировал методологию аппроксимации данных, имеющих синусоидальный тренд. через переменную синусоиду. Затем я описал механизм предсказания следующих значений данных.

Описанная методология может быть обобщена на все виды кривых:

• нагрузка и чистые данные
• график данных для понимания линии тренда
• аппроксимировать линию тренда кривой через функцию curve_fit ()
• график результат аппроксимации и сравните с исходной линией тренда данных
• , если необходимо, улучшите аппроксимированную линию тренда
• повторите предыдущие два шага, пока не получите хорошее приближение
• вычислите (линейную, полиномиальную,…) регрессию для прогнозирования будущих значений
• использовать прогнозируемые значения для обновления приближенной линии тренда.{K} b_ {k} \ sin \ left (\ frac {2 \ pi kt} {T} \ right) \]

  На рис. 4.5.1 ниже показано, как эта последовательность сигналов отображает сигнал более точно по мере добавления дополнительных членов.

  Рис. 4.5.1 Спектр ряда Фурье полуволновой выпрямленной синусоиды показан в верхней части.

  Индекс указывает кратную основной частоте, на которой сигнал имеет энергию. Суммарный эффект от добавления членов к ряду Фурье для полуволновой выпрямленной синусоидальной волны показан в нижней части.{2}} \]

  На рис. 4.5.2 показано, как ошибка в ряду Фурье для полуволновой выпрямленной синусоиды уменьшается по мере включения большего количества членов. В частности, использование четырех членов, как показано на нижнем графике рис. 4.5.1, дает среднеквадратичную ошибку (относительно среднеквадратичного значения сигнала) около 3%. Ряд Фурье в этом случае быстро сходится к сигналу.

  Рис.4.5.2 Ошибка аппроксимации для полуволновой выпрямленной синусоиды

  Среднеквадратичная ошибка, вычисленная в соответствии с приведенным выше уравнением, показана как функция количества членов в серии для полуволновой выпрямленной синусоиды.Ошибка была нормализована среднеквадратичным значением сигнала.

  Мы можем посмотреть на рис. 4.5.3, чтобы увидеть спектр мощности и среднеквадратичную ошибку аппроксимации для прямоугольной волны.

  Рис. 4.5.3 На верхнем графике показан спектр мощности прямоугольной волны, а на нижнем графике – среднеквадратичная ошибка приближения к прямоугольной волне с помощью ряда Фурье конечной длины. Звездочка обозначает среднеквадратичную ошибку, когда число членов K в ряду Фурье равно 99.

  Поскольку коэффициенты Фурье затухают здесь медленнее, чем для полуволновой выпрямленной синусоиды, среднеквадратичная ошибка не уменьшается быстро.Другими словами, спектр прямоугольной волны содержит больше мощности на более высоких частотах, чем синусоида с полуволновым выпрямлением. Эта разница между двумя рядами Фурье возникает из-за того, что коэффициенты Фурье полуволновой выпрямленной синусоиды пропорциональны 1 / k ² , в то время как коэффициенты прямоугольной волны пропорциональны 1 / k . На самом деле, после 99 членов приближения прямоугольной волны ошибка больше, чем 10 членов приближения для полуволновой выпрямленной синусоиды.{2} = 20 \% \]

  Приближение ряда Фурье, показанное на рис. 4.5.4, демонстрирует не только медленное затухание, но и интересное поведение.

  Рис. 4.5.4 Аппроксимация ряда Фурье до кв (t). Количество членов в сумме Фурье указано на каждом графике, а прямоугольная волна показана пунктирной линией за два периода.

  Хотя ряд Фурье прямоугольной волны требует большего количества членов для заданной точности представления, при сравнении графиков не ясно, равны ли они.Действительно ли ряд Фурье равен прямоугольной волне для всех значений

  Рассмотрите этот математический вопрос интуитивно: может ли прерывная функция, такая как прямоугольная волна, быть выражена как сумма, даже бесконечная, непрерывных сигналов? По крайней мере, нужно быть подозрительным, а на самом деле этого нельзя выразить таким образом. Этот выпуск вызвал много критики Фурье со стороны Французской академии наук (Лаплас, Лагранж, Монж и Лакруа входили в комитет по обзору) в течение нескольких лет после его презентации в 1807 году.Она не решалась почти столетие, и ее решение интересно и важно понимать с практической точки зрения.

  Посторонние пики в ряду Фурье прямоугольной волны никогда не исчезают; они названы феноменом Гибба в честь американского физика Джозайя Уилларда Гиббса. Они возникают, когда сигнал прерывается, и всегда будут присутствовать, когда сигнал имеет скачки.

  Вернемся к вопросу о равенстве; как можно обосновать знак равенства в определении ряда Фурье? Частичный ответ состоит в том, что поточечно – каждое и каждое значение t – равенство , а не гарантировано.Однако математики позже в девятнадцатом веке показали, что среднеквадратичная ошибка ряда Фурье всегда равна нулю.

  \ [\ lim_ {k \ to \ infty} среднеквадратичное значение (\ varepsilon _ {K}) = 0 \]

  Это означает, что ошибка между сигналом и приближением его ряда Фурье может не быть нулевым, но что его среднеквадратичное значение будет нулевым! Именно через среднеквадратичное значение мы переопределяем равенство: обычное определение равенства называется точечным равенством : два сигнала s ₁ (t), s ₂ (t) считаются равными поточечно, если:

  \ [s_ {1} (t) = s_ {2} (t) \]

  для всех значений т .Новое определение равенства – это среднеквадратичное равенство : два сигнала считаются равными в среднем квадрате, если:

  \ [среднеквадратичное значение (s_ {1} -s_ {2}) = 0 \]

  Для ряда Фурье пики явления Гибба имеют конечную высоту и нулевую ширину. Ошибка отличается от нуля только в отдельных точках – когда периодический сигнал содержит разрывы – и составляет около 9% от размера разрыва. Значение функции в конечном множестве точек не влияет на ее интеграл. Этот эффект лежит в основе причины, по которой определение значения прерывистой функции, как мы воздерживались при определении ступенчатой ​​функции, при ее прерывании бессмысленно.Что бы вы ни выбрали для значения, это не имеет практического значения ни для спектра сигнала, ни для того, как система реагирует на сигнал. Значение ряда Фурье “на” разрыве – это среднее значение по обе стороны от скачка.

  Блог Эдди по математике и калькулятору: Длина дуги sin (x)

  Запись в блоге № 102

  Длина дуги синусоидальной кривой

  Синусоидальная кривая – одна из самых интересных кривых в математике.

  Пусть

  y = a * sin x,

  Где a – амплитуда синусоиды.Икс). Следовательно, необходимо использовать численные методы.

  Поиск приближенной кривой

  Используя TI nSpire CX CAS, я использовал функции электронной таблицы, подбора кривой и построения графиков для определения приблизительного полинома. Длина дуги – от начала координат (0,0) до (π, 0).

  Примечание: x1 = 0, x2 = π

  Вот краткое изложение того, что я сделал:

  1. Создал электронную таблицу со следующими столбцами:

  Столбец A: последовательность чисел от 0.От 25 до 5 с шагом 0,25. Результирующий список называется , усилитель .

  Столбец B: Используйте функцию arcLen программы nSpire, чтобы получить длину дуги синусоидальной кривой с использованием амплиста в качестве значений для и . Этот список называется arc1 .

  2. Нажатие клавиши меню позволило мне получить доступ к меню Статистика . Используя опцию Stat Calculations , я использовал различные типы регрессии, включая степенную регрессию и регрессию четвертой степени.2 + .2071162669684 x ​​+ 3.0881429428239

  Этот многочлен был сохранен в функцию f1 (x).

  3. Я создал страницу графиков и сделал два графика:

  * График рассеяния, где x = амплитуда, y = arc1. (Точки красные)
  * Функция f1 (x) (см. Шаг 2). (Кривая синего цвета)

  Если установить масштаб для соответствия данным, кривая будет выглядеть хорошо.

  Вы можете создать аналогичный график с помощью модуля «Данные и статистика», но я подумал, что на этот раз все будет по-другому.

  Насколько хорошо подходит многочлен?
  

  4. Я вернулся к таблице и добавил еще два столбца.

  Столбец C: est1 = f1 (усилитель). (оценка длины дуги)
  Столбец D: err1 = abs (arc1 – est1)

  Прокручивая вниз столбец D, полином четвертой степени точно оценивал длину дуги синусоидальной кривой от 0 до π как минимум с двумя десятичными знаками.

  Заключение

  Мы пытались найти длину дуги кривой y = a sin x от x = 0 до x = π.2 + .2071162669684 x ​​+ 3.0881429428239

  Как всегда, спасибо и скоро с вами свяжемся!

  Эдди

  Этот блог является собственностью Эдварда Шора. © 2012

  Звуковые волны – Музыкальная математика

  Звуковые волны

  Звук – это быстрое переключение между сжатием и разрежением воздуха. Путь, которым звуки движутся по воздуху, можно рассматривать как аналог того, как вибрации движутся по обтяжке. Вот ссылка на видео на YouTube, которое дает хорошую иллюстрацию: Slinky

  Металлические части обтяжек не перемещаются с одного конца на другой.Что действительно движется по обтяжке при ее вибрации, так это те области, где пружина сжимается или растягивается. То же самое происходит, когда воздух на мгновение сжимается. Сами молекулы воздуха движутся не очень далеко, но волна воздуха с высокой плотностью движется со скоростью звука, примерно 770 миль в час.

  Чтобы представить такое циклическое поведение математически, представьте давление воздуха в месте нахождения слушателя как функцию времени, описываемую синусоидой или синусоидой.

  Например, синусоида на частоте 440 Гц (440 циклов в секунду) звучит так

  Несмотря на то, что звук, связанный с синусоидой, не очень приятен для прослушивания, можно использовать такие сигналы как базовые строительные блоки для некоторых действительно интересных форм звука.Поэтому важно понимать эти ключевые строительные блоки и то, как они сочетаются, чтобы сформировать сложные звуки.

  Синусоида имеет особую функциональную форму, которая описывается с помощью функции тригонометрического косинуса, и мы можем записать наиболее общую синусоиду как функцию

  \ (

  
  A \ sin (2 \ pi (ft + \ phi))
  \)
  

  Здесь \ (A \) описывает амплитуду синусоиды, которая соответствует объему, \ (f \) определяет ее частоту, которая определяет ее высоту, а \ (\ phi \) определяет ее фазу, то есть где в цикле, как часть всего круга, синусоида начинается в момент времени \ (t = 0.\)

  Геометрически синусоиду можно представить себе следующим образом. Представьте себе точку, движущуюся против часовой стрелки по единичной окружности с постоянной скоростью.

  Скорость, с которой точка вращается вокруг ориджина, может быть измерена количеством полных циклов, совершаемых в секунду. Эта величина называется частотой синусоиды. В каждый момент времени можно записать декартовы координаты \ ((x, y) \) точки, и мы можем построить координату \ (x \) или \ (y \) как функцию времени.Результат показан в нижней части рисунка. Предполагая, что точка переместилась на угол \ (\ theta \) от точки \ ((1,0) \) на оси \ (x \), мы называем ее \ (y \) – координатой синусом угол \ (\ theta \), обозначаемый \ (\ sin (\ theta) \), и мы называем его \ (x \) – координатой косинусом \ (\ theta \), обозначаемым \ (\ cos (\ тета). \)

  Мы предполагаем, что радиус нашей окружности равен 1 единице, поэтому длина окружности равна \ (2 \ pi \). Если наша точка начинается в \ ((1,0) \) в момент времени \ (t = 0 \) и движется со скоростью \ (f \) полных циклов круга за единицу времени (т.е.е. перемещается на расстояние \ (2 \ pi f \) в секунду), то в декартовых координатах положение в момент времени \ (t \) задается как

  \ (

  
  (\ cos (2 \ pi ft), \ sin (2 \ pi ft)
  \)
  

  мы можем представить \ (x \) – координату положения в любое будущее время \ (t \) формулой \ (\ cos (2 \ pi ft). \) С другой стороны, формулой \ (\ sin (2 \ pi ft) \) определяет \ (y \) – координату положения в будущем \ (t \), которая является \ (x \) – координатой , сдвинутой по фазе на четверть цикла я.е. \ (\ пи / 2. \)

  Мы можем создать звук синусоиды с заданной амплитудой и частотой, используя синтезатор, и когда у нас есть два синтезатора, которые мы играем вместе, результатом является сумма двух функций, образованная суммированием двух функций. Используя основные тригонометрические тождества, основную синусоиду выше можно выразить как суперпозицию двух разных синусоид

  \ (

  
  A \ sin (2 \ pi (ft + \ phi)) = A_1 \ sin (2 \ pi ft) + A_2 \ sin (2 \ pi (ft + 1/4))
  \)
  

  где \ (A_1 = A \ cos (2 \ pi \ phi) \) и \ (A_2 = A \ sin (2 \ pi \ phi) \).Итак, мы видим, что две синусоиды с одинаковой частотой и разными амплитудами и в разных фазах могут объединиться, чтобы сформировать единую синусоиду на той же частоте с некоторой новой амплитудой и фазой.

  В более общем плане, что происходит, когда мы воспроизводим две синусоиды с заданными амплитудами и фазами, но с одинаковой частотой одновременно? Когда мы объединяем синусоиду \ (A_1 \ sin (2 \ pi (ft + \ phi_1)) \) и \ (A_2 \ sin (2 \ pi (ft + \ phi_2)) \), получаем

  \ (

  
  A_1 \ cos (2 \ pi (ft + \ phi_1)) + A_2 \ cos (2 \ pi (ft + \ phi_2))
  \)
  

  мы можем использовать некоторые стандартные тригонометрические тождества, чтобы записать это как

  \ (

  
  A \ sin (2 \ pi (ft + \ phi)),
  \)
  

  при некотором подходящем выборе \ (A \) и \ (\ phi \).Таким образом, две синусоиды на разных фазах в конечном итоге создают эффект одной синусоиды.

  Например, вот две синусоиды с одинаковой частотой, но с разными амплитудами и фазами.

  Две синусоиды с одинаковой частотой

  и когда мы складываем эти два сигнала, мы получаем такой вид

  Сложены две синусоиды с одинаковой частотой

  Что происходит, когда мы воспроизводим одновременно две синусоиды разной частоты и разной амплитуды? Вот графики двух разных синусоид, показанных отдельно

  Когда они объединяются, в результате получается комбинация волн, которая на графике выглядит следующим образом

  Когда мы слушаем музыку, наши уши постоянно слышат комбинации звуков на разных частотах.Вот музыкальный отрывок из выступления Stone Hill All-Stars ’Miles Under the Surface

  и это то, как соответствующие звуковые волны выглядят в течение примерно 6/100 секунды.

  Это стереозапись, поэтому отображаются два графика, по одному для каждого канала.

  Когда звуковые волны объединяются, результаты могут быть довольно сложными, тем не менее, наши уши способны распутывать некоторые звуковые компоненты и слышать их как отдельные единицы. При моделировании того, что происходит математически, мы руководствуемся одной из фундаментальных алгебраических структур в математике, а именно векторным пространством.Сигналы / волны можно рассматривать как объекты в так называемом векторном пространстве , , и такое пространство оснащено двумя очень важными операциями, связанными с его объектами: объекты могут складываться вместе, что называется линейной суперпозицией, и объект можно умножить на число, которое в контексте звуковых волн будет соответствовать изменению громкости звука. Когда мы накладываем синусоиды, частоты которых кратны друг другу, мы производим звуки, близкие к звукам, которые издает типичный музыкальный инструмент.

  Векторные пространства – это естественные структуры, в которых звуковые волны можно рассматривать как наложенные простые элементы, и в этой структуре мы можем формализовать некоторые важные вопросы:

  • Какие звуковые волны можно выразить как суперпозицию синусоид?
  • Насколько хорошо мы можем аппроксимировать звуковую волну как такую ​​суперпозицию?
  • Учитывая звуковую волну, которая дискретизируется через равные промежутки времени, в какой степени мы можем ее восстановить?

  Еще одна часто используемая операция со звуком, которая производит новый, – это амплитудная модуляция.