Что такое набор: набор – это… Что такое набор?

Я уже давно просматриваю документацию, связанную с ARM ISA, и до сих пор считаю, что у меня есть хорошее понимание основ взаимодействия ARM/Thumb. Я быстро подытожу это следующим образом: Инструкции…

Я пытаюсь разобрать объект, построенный для ARM с gcc. К сожалению, objdump пытается угадать, является ли код ARM и Thumb, и ошибается: он думает, что мой код-Thumb, когда на самом деле это ARM. Я…

Я работаю над контроллером ARM Cortex-M3, который имеет набор инструкций Thumb-2. Режим большого пальца используется для сжатия инструкции до 16-битного размера. Таким образом, размер кода…

Следующий код взят из https://github.com/Xilinx/linux-xlnx/blob/master/arch/arm/kernel/head.S Я никогда не занимался программированием ARM assembly, так что может ли кто-нибудь помочь мне понять,…

BX изменяет набор инструкций говорит руководство, которое у нас есть здесь, насколько я мог узнать, поискав далеко и близко, это означает, что в то время как CPU запускает 16-битный набор инструкций…

Я хотел бы спросить вас, как определить, в каком ISA (ARM/Thumb/Thumb-2) закодирована инструкция? Прежде всего, я попытался сделать это, следуя инструкциям здесь (раздел 4.5.5). Однако, когда я…

Во-первых, я новичок, когда дело доходит до ARM assembly. На самом деле у меня есть несколько фрагментов кода, написанных для набора команд ARM, но моя цель-архитектура Cortex-M4, использующая набор…

Я смотрю на код head.S ARM linux. Я знаю, что такое режим большого пальца. Но есть одна строка, такая как THUMB(it eq) , и это предопределенный макрос, как #define THUMB(x…) x на самом деле…

При работе непосредственно с ARM assembly я могу использовать .thumb и .thumb_func и их аналогичные директивы arm, чтобы указать ассемблеру, какой тип инструкций выводить. Существует ли…

Мы работаем над некоторым кодом для ARM Cortex M4 на чипе STM32. Я понимаю, что Cortex-M4 имеет некоторые 32-битные инструкции, но это не 32-битные инструкции ARM, а всего лишь несколько специальных. ..

что это такое и почему дизайнеры должны заботиться

Разборчивость занимает важное место в дизайне. Максимальная разборчивость, однако, может доказать художественную форму дизайнера, достойную достижения. Отвечая на вопрос — Что такое набор текста? — может помочь дизайнеру попасть туда, говорит Чарльз Никс, директор по типам в Monotype.

«Набор текста — это аккуратное расположение текста в гарнитуре для достижения максимальной разборчивости», — говорит он. «Он включает типизацию шрифта и тип шрифта, но он также включает в себя массаж этого набора текста, чтобы придать ему максимальную разборчивость и эстетическую привлекательность».

Содержание статьи

Читаемый и разборчивый

Подобно тому, как существует различие между бросанием слов на листе бумаги и умением писать, Никс говорит, что набор текста и набор текста не могут быть дальше друг от друга. «В одном из них есть ремесло и все, что связано с ним, и шаги. Существует различие между созданием текста, который читается, чтобы кто-то мог его понять, и созданием текста, который читается, который способствует пониманию. Это тонко, но важно ».

Эта тонкая разница между удобочитаемостью и удобочитаемостью важна в мире набора текста, говорит Никс. Они могут пройти через множество мелких деталей. «Некоторые очевидны, некоторые нет», — говорит он. «Существуют всевозможные культурные подсказки, выделяемые набранным текстом». От выбора шрифта до «тонкости длины строки» и от качества шрифта, размера, в котором он используется, состояния дизайн вокруг него, список продолжается для того, что такое набор текста.

И это должно иметь значение для дизайнера.

Профессиональный индикатор

«Хорошо набранный текст отличает работу молодого дизайнера от тех, кто не заботится о ней», — говорит Никс. «Это ключевое различие между непрофессиональной работой и профессиональной работой. Это огромная причина, по которой люди начинают этот квест, чтобы хорошо набирать шрифты, просто чтобы отличаться от тех, кто не знает, как это сделать. Те, кто знает, могут смотреть на работу других и судить о ней как о желающей. Художественные руководители и издатели, а также люди, которые нанимают, хорошо разбираются в типографике и наборе текста. Если вы не можете впечатлить их своим единомыслием и способностью видеть шрифт, они уволят вас почти из-под контроля как человека, почти нечувствительного к шрифтам ».

Для Тодда Радома, который начал свою карьеру в книгоиздательстве, прежде чем стать, вероятно, ведущим спортивным графическим дизайнером, набор текста «является и всегда был одним из ключевых основополагающих аспектов дизайна».

«В до-цифровом мире, где нам приходилось отправлять на печать, это было дорого, а процесс в лучшем случае был громоздким», — говорит Радом. «Сегодняшний мир гораздо больше сфокусирован на опыте работы с цифровыми и мобильными устройствами, и правильные типографские решения как никогда необходимы для передачи эффективного сообщения».

Не притворяйся

Радом соглашается с Никсом: дизайнеры не могут обмануть недостаток знаний о наборе текста. «Для меня твердые типографские навыки отделяют претендентов от претендентов, — говорит Радом, — на самом деле это не подделка».

Набор текста включает в себя ремесло типа настройки, конечно, но также включает искусство настройки типа. Никс указывает на редакционный дизайн как на ключевой элемент использования верстки в графическом дизайне. «В редакционной статье есть две области, где способность хорошо набирать текст является обязательной», — говорит Никс. Первый: заголовки. Если вы не можете установить заголовок правильно, вы не будете устанавливать заголовки вообще. Затем идет текст, с некоторыми из тех же проблемных областей, но и с новым спектром потребностей. «Способность видеть, что делает хороший набранный текст, необходима для вашего выживания», — говорит он.

Но важность набора текста выходит далеко за рамки одной сферы труда. Любой дизайн, который включает в себя тип, требует такого понимания набора текста. Это может быть дизайн упаковки. Signage. Любой мир, где использование шрифтов привлекает внимание, заставляет набирать текст, чтобы хорошо выполнять свою работу.

«Независимо от того, создаете ли вы дизайн для печати, приложений, фильмов или Интернета, хорошие навыки набора текста являются ключевыми», — говорит Гейл Андерсон, креативный директор Visual Arts Press. «Это никогда не изменится, даже несмотря на то, что способы потребления информации продолжают развиваться».

Установите стратегию

В процессе выбора наилучшей стратегии набора текста для проекта Никс отмечает основные аспекты. Сначала идет выбор типа. Подобно сочетанию вина с едой, способность понимать, какой шрифт имеет смысл для конкретного проекта, задает тон. Иногда это продиктовано форматами, но в основном шоу управляет вкусом. Затем приходит размер. Вы не можете пойти слишком большим, но не можете пойти слишком маленьким, и вы должны понимать расстояние между строками. Придерживаясь темы пробелов, дизайнеры должны понимать кернинг — пространство между символами в заголовках — а также расстояние между словами. «Становится очень важно понять, как создать непротиворечивый разборчивый текст, манипулируя пространством между буквами и словами», — говорит Никс.

Затем, чтобы закончить основы набора текста, приходит понимание того, как работают слова. «Вы заботитесь не только о том, как он выглядит, — говорит Никс, — но и о том, что он говорит. Вам известно о намерениях автора? У вас есть опыт работы? »

С типографикой о гармонии и контрасте, а также о нахождении и достижении баланса Радом говорит, что дизайнеры должны понимать такие вопросы, как то, как декоративные буквы сочетаются с необходимостью разборчивости или как масштабирование играет в дизайне или даже как тип взаимодействует с изображения, чтобы сформировать законченный и эффективный образец дизайна.

Потерянный и найденный

Андерсон говорит, что она помнит время, когда шрифт был трудоемким и дорогостоящим. «У меня все еще есть воспоминания, где я прищуриваюсь и медленно раздвигаю буквы, чтобы помассировать пространство», — говорит она. «Но есть кое-что, что нужно сказать для того, чтобы сделать очень осознанный выбор типа, который вы использовали. Это иногда теряется у студентов, когда они быстро просматривают все открытые шрифты на своих машинах ».

Чтобы получить знания о наборе текста, это понимание того, как сделать это хорошо, требует постоянной дозы наблюдения и разговора, говорит Никс. Дизайнеры могут учиться у других.

Никс, выпускник The Cooper Union, говорит, что его изучение набора текста было в первую очередь проведено людьми, которых он знал профессионально и в школе. «Я встречал людей, которые действительно научили меня, как видеть шрифты», — говорит он. От инструктора по искусству и каллиграфии, показывающего, как видеть абстрактные знаки и баланс пространства, до инструктора, который продвинул знания об истории набора текста.

История и зависание

Понимание истории верстки привело Никс к литературе, посвященной типографии и верстке. «Чтение любой одной книги приведет вас к 12 другим книгам, и вы сможете узнать и понять, что является коллективно важным», — говорит он. «Вы можете узнать, что люди, которые пишут на эту тему, расходятся, и в результате найти свой собственный путь. Все дело в том, чтобы прислушиваться к другим людям и в конечном итоге принять собственное решение ».

Третий ключевой преподаватель в путешествии Никс, директор по дизайну школы, стоял у него за плечом, когда он работал, помогая ему понять тип букв. «Мы будем работать над заголовком, и он скажет немного ближе между« т »и« а », а разнополый отец — вокруг столицы -« я », — говорит он. «Иногда я знал, что он говорил и мог предсказать, и в конце концов я усвоил логику этого, и это стало частью моего метода работы».

Что такое набор текста на самом деле?

Замедление и реальное изучение взаимосвязей писем друг с другом и размышление о том, как организовать информацию на странице или экране, остается частью процесса, говорит Андерсон. «Хороший дизайн — это хорошее общение, — говорит она, — и соображения, которые нужно учитывать, могут быть действительно интригующими».

По мере того, как набор текста развивался — концепции набора текста в металле между 1900 и 1950 годами кардинально изменились, когда он превратился в цифровой набор текста — с точки зрения функции, потребность дизайнеров в понимании процесса не изменилась. Максимальная разборчивость остается целью. И набор текста может помочь дизайнерам добраться туда.

Следуйте за Тимом Ньюкомбом в Твиттере на @tdnewcomb.

Пост-верстка: что это такое и почему дизайнеры должны заботиться, впервые появилась в HOW Design.

(с примерами)

Набор – это неупорядоченный набор предметов. Каждый элемент набора уникален (без дубликатов) и должен быть неизменным (не может быть изменен).

Однако набор сам по себе изменчив. Мы можем добавлять или удалять элементы из него.

Наборы также могут использоваться для выполнения математических операций над наборами, таких как объединение, пересечение, симметричная разность и т. Д.

Создание наборов Python

Набор создается путем помещения всех элементов (элементов) в фигурные скобки {} , разделенных запятыми, или с помощью встроенной функции set () .

Он может иметь любое количество элементов, и они могут быть разных типов (целые числа, числа с плавающей запятой, кортеж, строка и т. Д.). Но набор не может иметь в качестве своих элементов изменяемые элементы, такие как списки, наборы или словари.

  # Различные типы наборов в Python
# набор целых чисел
my_set = {1, 2, 3}
печать (my_set)

# набор смешанных типов данных
my_set = {1.0, "Привет", (1, 2, 3)}
печать (my_set)  

Выход

  {1, 2, 3}
{1. 0, (1, 2, 3), "Привет"}  

Попробуйте также следующие примеры.

  # set не может иметь дубликатов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set = {1, 2, 3, 4, 3, 2}
печать (my_set)

# мы можем сделать набор из списка
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set = set ([1, 2, 3, 2])
печать (my_set)

# набор не может иметь изменяемые элементы
# здесь [3, 4] - изменяемый список
# это вызовет ошибку.

my_set = {1, 2, [3, 4]}  

Выход

  {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3}
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл «<строка>», строка 15, в <модуле>
    my_set = {1, 2, [3, 4]}
TypeError: нехешируемый тип: 'список'  

Создать пустой набор немного сложно.

Пустые фигурные скобки {} создадут пустой словарь в Python. Чтобы создать набор без каких-либо элементов, мы используем функцию set () без аргументов.

  # Различать набор и словарь при создании пустого набора

# инициализировать a с помощью {}
а = {}

# проверить тип данных
печать (тип (а))

# инициализировать a с помощью set ()
а = набор ()

# проверить тип данных
печать (тип (а))  

Выход

  <класс 'dict'>
<набор классов>  

Изменение набора в Python

Наборы изменяемы. Однако, поскольку они неупорядочены, индексация не имеет смысла.

Мы не можем получить доступ к элементу набора или изменить его с помощью индексации или нарезки. Установленный тип данных не поддерживает его.

Мы можем добавить один элемент с помощью метода add () и несколько элементов с помощью метода update () . Метод update () может принимать в качестве аргумента кортежи, списки, строки или другие наборы. Во всех случаях следует избегать дублирования.

  # инициализировать my_set
my_set = {1, 3}
печать (my_set)

# my_set [0]
# если вы раскомментируете строку выше
# вы получите сообщение об ошибке
# TypeError: объект 'set' не поддерживает индексацию

# добавить элемент
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set.добавить (2)
печать (my_set)

# добавить несколько элементов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set.update ([2, 3, 4])
печать (my_set)

# добавить список и установить
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
my_set.update ([4, 5], {1, 6, 8})
печать (my_set)  

Выход

  {1, 3}
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}  

Снятие элементов из набора

Определенный элемент можно удалить из набора с помощью методов discard () и remove () .

Единственное различие между ними состоит в том, что функция discard () оставляет набор без изменений, если элемент отсутствует в наборе. С другой стороны, функция remove () вызовет ошибку в таком состоянии (если элемент отсутствует в наборе).

Это проиллюстрировано на следующем примере.

  # Разница между discard () и remove ()

# инициализировать my_set
my_set = {1, 3, 4, 5, 6}
печать (my_set)

# отбросить элемент
# Вывод: {1, 3, 5, 6}
my_set.выбросить (4)
печать (my_set)

# удалить элемент
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.remove (6)
печать (my_set)

# отбросить элемент
# отсутствует в my_set
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.discard (2)
печать (my_set)

# удалить элемент
# отсутствует в my_set
# вы получите сообщение об ошибке.
# Вывод: KeyError

my_set.remove (2)  

Выход

  {1, 3, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 6}
{1, 3, 5}
{1, 3, 5}
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл «<строка>», строка 28, в <модуле>
KeyError: 2  

Точно так же мы можем удалить и вернуть элемент, используя метод pop () .

Поскольку set – это неупорядоченный тип данных, невозможно определить, какой элемент будет выталкиваться. Это совершенно произвольно.

Мы также можем удалить все элементы из набора с помощью метода clear () .

  # инициализировать my_set
# Вывод: набор уникальных элементов
my_set = set ("HelloWorld")
печать (my_set)

# выталкиваем элемент
# Вывод: случайный элемент
печать (my_set.pop ())

# вытолкнуть другой элемент
my_set.pop ()
печать (my_set)

# очистить my_set
# Вывод: set ()
my_set.Чисто()
печать (my_set)

печать (my_set)  

Выход

  {'H', 'l', 'r', 'W', 'o', 'd', 'e'}
ЧАС
{'r', 'W', 'o', 'd', 'e'}
набор ()  

Операции над наборами Python

Наборы могут использоваться для выполнения математических операций над наборами, таких как объединение, пересечение, разность и симметричная разность. Мы можем сделать это с помощью операторов или методов.

Рассмотрим следующие два набора для следующих операций.

  >>> A = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> B = {4, 5, 6, 7, 8}  

Комплект Союза

Объединение A и B – это набор всех элементов из обоих наборов.

Союз выполняется с использованием | оператор. То же самое можно сделать с помощью метода union () .

  # Установить метод объединения
# инициализировать A и B
А = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

# использовать | оператор
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
печать (A | B)  

Выход

  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}  

Попробуйте следующие примеры в оболочке Python.

  # использовать функцию объединения
>>> А.союз (B)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

# использовать функцию объединения на B
>>> B. союз (A)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}  

Установить перекресток

Пересечение A и B – это набор элементов, общих для обоих наборов.

Пересечение выполняется с помощью оператора и . То же самое можно сделать с помощью метода пересечение () .

  # Пересечение множеств
# инициализировать A и B
А = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

# используйте & оператор
# Вывод: {4, 5}
печать (A и B)  

Выход

  {4, 5}  

Попробуйте следующие примеры в оболочке Python.

  # использовать функцию пересечения на A
>>> A. пересечение (B)
{4, 5}

# использовать функцию пересечения на B
>>> Б. пересечение (А)
{4, 5}  

Установить разницу

Отличие набора B от набора A ( A – B ) – это набор элементов, которые есть только в A , но не в B . Аналогично, B – A – это набор элементов в B , но не в A .

Разница выполняется с помощью оператора - . То же самое можно сделать с помощью метода difference () .

  # Разница двух наборов
# инициализировать A и B
А = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

# использовать - оператор на A
# Вывод: {1, 2, 3}
печать (A - B)  

Выход

  {1, 2, 3}  

Попробуйте следующие примеры в оболочке Python.

  # использовать функцию разницы на A
>>> А.Б)  

Выход

  {1, 2, 3, 6, 7, 8}  

Попробуйте следующие примеры в оболочке Python.

  # использовать функцию symric_difference на A
>>> A.symmetric_difference (B)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}

# использовать функцию symric_difference на B
>>> B.symmetric_difference (A)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}  

Другие методы набора Python

Существует множество методов набора, некоторые из которых мы уже использовали выше.Вот список всех методов, доступных с заданными объектами:

Метод	Описание
доб. ()	Добавляет элемент в набор
прозрачный ()	Удаляет все элементы из набора
копия ()	Возвращает копию набора
разница ()	Возвращает разницу двух или более наборов как новый набор
difference_update ()	Удаляет все элементы другого набора из этого набора
отказаться ()	Удаляет элемент из набора, если он является членом.(Ничего не делать, если элемент не установлен)
пересечение ()	Возвращает пересечение двух наборов как новый набор
crossction_update ()	Обновляет набор с пересечением самого себя и другого
isdisjoint ()	Возвращает Истина , если два набора имеют нулевое пересечение
issubset ()	Возвращает Истина , если другой набор содержит этот набор
Issueperset ()	Возвращает Истина , если этот набор содержит другой набор
поп ()	Удаляет и возвращает произвольный элемент набора. Вызывает KeyError , если набор пуст
удалить ()	Удаляет элемент из набора. Если элемент не является членом, вызывает KeyError
симметричная_разница ()	Возвращает симметричную разность двух наборов как новый набор
simric_difference_update ()	Обновляет набор с симметричной разницей между собой и другим
штуцер ()	Возвращает объединение наборов в новом наборе
обновить ()	Обновляет набор объединением себя и других

Прочие операции с наборами

Установить тест на членство

Мы можем проверить, существует ли элемент в наборе или нет, используя ключевое слово in .

  # в ключевом слове в наборе
# инициализировать my_set
my_set = set ("яблоко")

# проверяем, присутствует ли 'a'
# Вывод: True
print ('a' в my_set)

# проверяем, присутствует ли 'p'
# Вывод: Ложь
print ('p' отсутствует в my_set)  

Выход

  Верно
Ложь  

Итерация по набору

Мы можем перебирать каждый элемент в наборе, используя цикл для .

  >>> для буквы в наборе ("яблоко"):
... печать (письмо)
...
а
п
е
л  

Встроенные функции с набором

Встроенные функции, такие как all () , any () , enumerate () , len () , max () , min () , sorted () , sum () и т. Д. Обычно используются с наборами для выполнения различных задач.

Функция	Описание
все ()	Возвращает Истина , если все элементы набора истинны (или если набор пуст).
любой ()	Возвращает True , если какой-либо элемент набора является истинным. Если набор пуст, возвращает Ложь .
перечислить ()	Возвращает перечисляемый объект. Он содержит индекс и значение для всех элементов набора в виде пары.
л. ()	Возвращает длину (количество элементов) в наборе.
макс. ()	Возвращает самый большой элемент в наборе.
мин ()	Возвращает наименьший элемент в наборе.
отсортировано ()	Возвращает новый отсортированный список из элементов в наборе (не сортирует сам набор).
сумма ()	Возвращает сумму всех элементов в наборе.

Питон Frozenset

Frozenset – это новый класс, который имеет характеристики набора, но его элементы нельзя изменить после назначения.В то время как кортежи являются неизменяемыми списками, frozensets – неизменяемыми наборами.

Изменяемые наборы не могут быть хешированы, поэтому их нельзя использовать в качестве ключей словаря. С другой стороны, frozensets хешируются и могут использоваться как ключи к словарю.

Frozensets можно создать с помощью функции frozenset ().

Этот тип данных поддерживает такие методы, как copy () , difference () , correction () , isdisjoint () , issubset () , Issueperset () , Simric_difference () и . союз () .Будучи неизменным, он не имеет методов, которые добавляют или удаляют элементы.

  # Frozensets
# инициализировать A и B
A = frozenset ([1, 2, 3, 4])
B = замораживание ([3, 4, 5, 6])  

Попробуйте эти примеры в оболочке Python.

  >>> A.isdisjoint (B)
Ложь
>>> A. разница (B)
Frozenset ({1, 2})
>>> A | B
Frozenset ({1, 2, 3, 4, 5, 6})
>>> A.add (3)
...
AttributeError: объект 'frozenset' не имеет атрибута 'add'  

Наборы Python

myset = {“яблоко”, “банан”, “вишня”}

Набор

Наборы используются для хранения нескольких элементов в одной переменной.

Set – один из 4 встроенных типов данных в Python, используемых для хранения коллекций данные, остальные 3 – список, Кортеж и Словарь – все с разным качеством и использованием.

Набор – это набор, состоящий из неупорядоченных и неиндексированных .

Наборы записываются фигурными скобками.

Пример

Создать набор:

thisset = {“яблоко”, “банан”, “вишня”}
print (thisset)

Примечание: Наборы неупорядочены, поэтому вы не можете быть уверены в том, какие порядок товаров появится.

Предметы набора

Элементы набора неупорядочены, неизменяемы и не допускают повторяющихся значений.

Неупорядоченный

Неупорядоченный означает, что элементы в наборе не имеют определенного порядка.

Предметы из набора могут появляться в разном порядке каждый раз, когда вы их используете, и на него нельзя ссылаться по индексу или ключу.

без изменений

Наборы неизменяемы, это означает, что мы не можем изменить элементы после того, как набор был создан.

После создания набора вы не можете изменять его элементы, но можете добавлять новые элементы.

Дубликаты не допускаются

В наборах не может быть двух предметов с одинаковым значением.

Пример

Повторяющиеся значения игнорируются:

печать (thisset)

Получите длину набора

Чтобы определить, сколько элементов в наборе, используйте метод len () .

Пример

Получить количество предметов в наборе:

print (len (thisset))

Установить элементы – типы данных

Элементы набора могут иметь любой тип данных:

Пример

String, int и логические типы данных:

set1 = {“яблоко”, “банан”, “вишня”}
set2 = {1, 5, 7, 9, 3}
set3 = {True, False, False}

Набор может содержать разные типы данных:

Пример

Набор со строками, целыми числами и логическими значениями:

set1 = {“abc”, 34, True, 40, “мужской”}

тип ()

С точки зрения Python, наборы определяются как объекты с типом данных set:

<класс 'набор'>

Пример

Какой тип данных у набора?

myset = {“яблоко”, “банан”, “вишня”}
print (type (myset))

Конструктор set ()

Также можно использовать set () конструктор для создания набора.

Пример

Использование конструктора set () для создания набора:

thisset = set ((“яблоко”, “банан”, “вишня”)) # обратите внимание на двойные круглые скобки
print (thisset)

Коллекции (массивы) Python

В языке программирования Python существует четыре типа коллекционных данных:

• Список – это упорядоченная и изменяемая коллекция. Позволяет дублировать участников.
• Кортеж – это упорядоченная и неизменяемая коллекция.Позволяет дублировать участников.
• Set – это неупорядоченная и неиндексированная коллекция. Нет повторяющихся участников.
• Словарь – это заказанный сборник * и изменчивый. Нет повторяющихся участников.

* Начиная с версии Python 3.7, словари заказаны . В Python 3.6 и ранее словари неупорядоченные .

При выборе типа коллекции полезно понимать свойства этого типа. Выбор правильного типа для конкретного набора данных может означать сохранение смысла и может означать повышение эффективности или безопасности.

Что такое сет в теннисном матче?

Наборы являются частью системы подсчета очков в теннисе. Когда игрок / команда набирает определенное количество очков, они выигрывают игру. Когда они выигрывают определенное количество игр, они выигрывают сет. И когда они выигрывают определенное количество сетов, они выигрывают матч. Как только это произойдет, соревнование закончится.

Подсчет очков

Чтобы лучше понять, как работает набор, необходимо знать, как очки начисляются в игре. Игрок / команда должны набрать четыре очка, чтобы выиграть игру. Однако числа, используемые для подсчета баллов, имеют необычное приращение. Если игрок / команда набирает четыре очка подряд, они повышаются на 15, 30, а затем на 40 очков и, набрав следующее очко, выигрывают игру. Более того, нулевой балл называется «любовью».

Перед розыгрышем каждого очка обслуживающий игрок / команда объявляет счет игры, начиная со своего собственного счета.Другими словами, если подающий игрок / команда впереди в игре 15-0, перед подачей они будут кричать «15-любовь». Если необслуживающий игрок выигрывает первое очко в игре, ему присваивается счет «любовь-15». В профессиональных матчах эта ответственность возлагается на судью.

«Двойка» возникает, когда счет равен 40. В большинстве случаев игрок / команда должны выиграть как минимум с двумя очками, поэтому первый игрок / команда, набравшая очко после «двойки», имеет только « преимущество”. Тот же игрок / команда должны забить еще раз, чтобы выиграть игру.Однако когда дело доходит до подсчета очков без рекламы, первый игрок, который наберет очко после того, как счет будет равен 40-40, побеждает в игре.

Как выиграть сет

Чтобы выиграть сет, игрок / команда должны выиграть шесть игр, но должны быть впереди по крайней мере на две игры. Если игрок / команда, которые были впереди, снова побеждают и идут вперед от семи до пяти игр, то они выигрывают сет. Если, однако, каждый игрок / команда выиграли шесть игр, то должен быть сыгран последний тай-брейк. Какая бы команда / игрок ни выиграли в этой игре, побеждает тай-брейк и выигрывает сет.

Игра, сет, матч

В зависимости от нескольких различных факторов количество сетов, необходимых для победы в матче, может быть разным. В большинстве случаев матчи разыгрываются по принципу «максимум из трех серий», поэтому первый игрок / команда, выигравшая три сета, побеждает в матче. Это включает в себя женскую игру и большую часть мужских игр.

Мужские матчи на турнирах Кубка Дэвиса и Большого шлема, также известных как четыре мейджора, с другой стороны, состоят из пяти серий до лучших результатов. Эти турниры включают Открытый чемпионат Австралии, Открытый чемпионат Франции, Уимблдон и U.С. Открытый. В этом случае победителем матча считается тот игрок / команда, который первым наберет три сета.

В других сценариях могут быть сыграны менее традиционные формы наборов. Чтобы сократить время матча, участники могут сыграть «профессиональный сет». В этом виде матча победителем сета становится победитель матча. Первый игрок / команда, выигравшая восемь игр с разницей не менее двух игр, выигрывает набор и, следовательно, матч.

Наборы преимуществ Уимблдона и Ролан Гаррос

Турниры Большого шлема – это Открытый чемпионат Австралии, играемый на кортах с твердым покрытием в январе, затем Ролан Гаррос, Открытый чемпионат Франции, на грунтовых кортах в мае, затем Уимблдонский теннисный класс в Англии. травяные корты в течение июля и, наконец, U.В августе S. Open играл в Нью-Йорке на кортах с твердым покрытием.

В мужских одиночных и парных матчах турниров Большого шлема и Кубка Дэвиса подсчет очков основывается на сете до пяти побед. Побеждает тот, кто первым выиграет три сета.

Однако на Уимблдоне и Ролан Гаррос счет также состоит из «набора преимуществ», когда матч начинается с пятого сета. Это два места проведения турниров Большого шлема, на которых проводятся дополнительные игры.

Самый длинный теннисный матч в истории был проведен на Уимблдонском клубе Англии в 2010 году.Матч между Николасом Махутом (Франция) и Джоном Иснером (США) закончился через 11 часов 5 минут и занял более трех дней.

Как на Открытом чемпионате США, так и на Открытом чемпионате Австралии по теннису используется формат «до пяти». Однако когда Уимблдон и Ролан Гаррос отклоняются от традиционного счета, так это после начала пятого сета.

Объяснение подсчета очков в теннисе

Для каждого теннисного матча подсчет очков осуществляется следующим образом:

Победитель шести игр выигрывает набор.Выиграйте три сета, и игрок выиграл матч. Обычно, когда каждый игрок находится «на подаче», то есть оба игрока выигрывают игры, в которых они подают, и счет достигает 6-6 для игр, начинается тай-брейк. Тай-брейк выигрывает тот игрок, который первым наберет семь очков и как минимум на два очка превосходит своего соперника. Некоторые примеры тай-брейка: 7-5, 9-7, 10-8. Затем счет для этого сета отображается как 7-6, и счет при ничьей ставится рядом со счетом проигравшего.

В этом примере Федерер выиграл свой первый сет 7-6 с тай-брейком 10-8.

Подсчет очков в пятом сете

Как только начинается первый сет, Уимблдон и Ролан Гаррос отклоняются от обычного подсчета очков. Возвращаясь к самому продолжительному матчу из когда-либо сыгранных, Иснер выиграл матч со счетом 6-4, 3-6, 6-7 (7), 7-6 (3), 70-68. Причина, по которой на завершение этого матча ушло более трех дней, а счет достиг семидесятых, связана с тем, что на Уимблдоне и Ролан Гаррос игрок не может выиграть матч в пятом сете с тай-брейком.Вместо этого он первым поднялся на две игры. Сет может быстро закончиться при 8-6 или продолжаться до тех пор, пока кто-нибудь не выиграет 70-68 11 часов спустя.

Утомительный пятый сет

В течение некоторого времени игроки и тренеры оказывали давление на Уимблдон, чтобы он перешел на тай-брейк в пятом сете из-за усталости игроков. В прошлом году Уимблдон окончательно изменил свои правила после того, как мужской полуфинал между Кевином Андерсоном и Джоном Иснером длился более шести часов и закончился победой Андерсона со счетом 26-24.Андерсон, измученный, сыграл финал на следующий день и проиграл в двух сетах Новаку Джоковичу. Андерсон после матча заявил: «Конечно, мое тело не очень хорошо себя чувствовало. Этого не случится, если вы так много играете в теннис».

Этот матч привел к изменению правил, согласно которому, начиная с 2019 года, Уимблдон начнет тай-брейк пятого сета, который начнется, когда счет игры достигнет 12-12.

Теперь Ролан Гаррос – последний турнир Большого шлема без тай-брейка в пятом сете. Это изменение на Уимблдоне произошло после многих лет изучения данных матчей.Несмотря на то, что существует давление, чтобы полностью исключить лишние игры у игроков, председатели и президенты турниров не решаются изменить традицию.

наборов – Изучение Python 3

Установить в Python – это структура данных эквивалент наборов в математике. Он может состоять из различных элементов; порядок элементов в наборе не определен. Вы можете добавлять и удалять элементы набора, вы можете повторять элементы набора, вы можете выполнять стандартные операции над наборами (объединение, пересечение, разность).Кроме того, вы можете проверить, принадлежит ли элемент к набору.

В отличие от массивов, где элементы хранятся в порядке list порядок элементов в наборе не определен (более того, элементы набора обычно не хранятся в порядке появления в наборе; это позволяет проверить, принадлежит ли элемент к набору быстрее, чем просто пройти через все элементы набора).

Любой неизменяемый тип данных может быть элементом набора: число, строка, кортеж. Мутабельные (изменяемые) типы данных не могут быть элементы набора.В частности, список не может быть элементом набора (но может кортеж), а другой набор не может быть элементом набора. Требование неизменности вытекает из того, как компьютеры представляют наборы в памяти.

Вы можете определить набор так же просто, как указав все его элементы в скобках. Единственное исключение – пустой набор , который можно создать с помощью функция set () . Если установить (..) имеет list, строка или кортеж в качестве параметра, он вернет набор, состоящий из его элементов.Например,

 Нет 

 A = {1, 2, 3}
A = набор ('qwerty')
печать (A)
 

напечатает {'e', 'q', 'r', 't', 'w', 'y'} в качестве вывода.

Порядок элементов неважно. Например, программа

 Нет 

 A = {1, 2, 3}
B = {3, 2, 3, 1}
печать (A == B)
 

напечатает True , потому что A и B равны наборы.

Каждый элемент может войти в набор только один раз. комплект ('Привет') возвращает набор из четырех элементов: {'H', 'e', ​​'l', 'o'} .

Количество элементов в наборе можно получить с помощью функции len .

Вы также можете перебирать все элементы набора (в неопределенном порядке!), Используя цикл для :

 Нет 

 простых чисел = {2, 3, 5, 7, 11}
для числа в простых числах:
    печать (число)
 

Вы можете проверить, принадлежит ли элемент к набору, используя ключевое слово в : такие выражения, как a в A , возвращают значение типа bool .Точно так же есть противоположная операция , которой нет в . Для добавления элемента в набор есть метод add :

 Нет 

 A = {1, 2, 3}
print (1 в A, 4 не в A)
А. добавить (4)
 

Есть два метода удаления элемента из набора: удалить и удалить . Их поведение меняется только в том случае, если удаленного элемента не было в наборе. В этом случае метод отбрасывает ничего не делает, а метод remove выдает исключение KeyError .

Наконец, pop удаляет один случайный элемент из набора и возвращает его значение. Если набор пуст, pop генерирует исключение KeyError .

Вы можете преобразовать набор в список с помощью функции список .

Вот как вы выполняете хорошо известные операции над множествами в Python:

Введение в теорию множеств | Математика для гуманитарных наук

Результаты обучения

• Опишите членство наборов, включая пустой набор, используя правильную нотацию, и решите, являются ли данные элементы членами, и определите количество элементов данного набора.
• Опишите отношения между множествами относительно членства, равенства, подмножества и надлежащего подмножества, используя правильную нотацию.
• Выполнять операции объединения, пересечения, дополнения и разности на множествах, используя правильную нотацию.
• Уметь рисовать и интерпретировать диаграммы Венна отношений и операций множества и использовать диаграммы Венна для решения проблем.
• Узнавать, когда теория множеств применима к ситуациям реальной жизни, решать реальные проблемы и сообщать другим о реальных проблемах и решениях.

Коллекционер произведений искусства может владеть коллекцией картин, а меломан - коллекцией компакт-дисков. Любая коллекция предметов может составить набор .

Набор

Набор представляет собой набор отдельных объектов, называемых элементами набора

Набор можно определить, описав его содержимое или перечислив элементы набора, заключенные в фигурные скобки.

Пример

Некоторые примеры наборов, определенных описанием содержимого:

1. Набор всех четных чисел
2. Набор всех книг о путешествии в Чили

Некоторые примеры наборов, определенных путем перечисления элементов набора:

1. {1, 3, 9, 12}
2. {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, индиго, фиолетовый}

Обозначение

Обычно мы будем использовать переменную для представления набора, чтобы облегчить обращение к этому набору позже.

Символ ∈ означает «является элементом».

Набор, не содержащий элементов, {}, называется пустым набором и обозначается ∅

Пример

Пусть A = {1, 2, 3, 4}

Чтобы отметить, что 2 является элементом множества, мы должны написать 2 ∈ A

Набор просто определяет содержимое; порядок не важен. Набор, представленный как {1, 2, 3}, эквивалентен набору {3, 1, 2}.

Подмножества

Иногда коллекция может содержать не все элементы набора.Например, Крису принадлежат три альбома Мадонны. Хотя коллекция Криса - это набор, мы также можем сказать, что это подмножество большего набора всех альбомов Мадонны.

Подмножество

Подмножество набора A - это еще один набор, который содержит только элементы из набора A , но может не содержать всех элементов A .

Если B является подмножеством A , мы пишем B ⊆ A

Правильное подмножество - это подмножество, которое не идентично исходному набору - оно исключает по крайней мере один элемент исходного набора.

Если B является правильным подмножеством A , мы пишем B ⊂ A

Пример

Рассмотрим эти три набора:

A = набор всех четных чисел
B = {2, 4, 6}
C = {2, 3, 4, 6}

Здесь B ⊂ A , поскольку каждый элемент B также является четным числом, так же как и элемент A .

Более формально мы могли бы сказать B ⊂ A , поскольку если x ∈ B , то x ∈ A .

Верно также, что B ⊂ C .

C не является подмножеством A , поскольку C содержит элемент 3, который не содержится в A

Пример

Предположим, что набор содержит пьесы «Много шума из ничего», «Макбет» и «Сон в летнюю ночь». Какой из более крупных наборов это может быть подмножество?

Здесь есть много возможных ответов. Один из них - пьесы Шекспира.Это также подмножество всех когда-либо написанных пьес. Это также часть всей британской литературы.

Попробуй

Рассмотрим набор [латекс] A = \ {1, 3, 5 \} [/ latex]. Какой из следующих наборов [latex] A [/ latex] является подмножеством?
[латекс] X = \ {1, 3, 7, 5 \} [/ латекс]
[латекс] Y = \ {1, 3 \} [/ латекс]
[латекс] Z = \ {1, m, n, 3, 5 \} [/ латекс]

[латекс] X [/ латекс] и [латекс] Y [/ латекс]

Упражнения

Для набора: A = { a , b , c , d }.Перечислить все подмножества A

Как видите, существует 16 подмножеств, 15 из которых являются собственными подмножествами.

Перечислить наборы можно, если у вас всего несколько элементов. Однако, если бы мы перечислили все подмножества набора, содержащего много элементов, это было бы довольно утомительно. Вместо этого в следующем примере мы рассмотрим каждый элемент набора отдельно.

Пример

В предыдущем примере четыре элемента. {2} = 4 [/ latex] подмножества.{n} −1 [/ latex] собственных подмножеств.

предварительное вычисление алгебры - Что такое определение множества?

Примечание: Согласно формулировке ОП в тексте награды, этот ответ направлен на то, чтобы дать хотя бы представление о некоторых аспектах определения множеств и теорий множеств с акцентом на аксиоме выбора. Самые популярные ответы уже содержат важную информацию.

По определению наборов:

В наше время множества (и все другие математические объекты) определяются не для того, чтобы указать, что они , а для того, что мы хотим с ними делать.Это привело к появлению различных теорий множеств, которые возникли, по существу, из-за трех разных нитей, и общей для всех них была цель разработать содержательную математическую теорию.

• Теория множеств как инструмент понимания бесконечности , ведущая к теории кардиналов и ординалов. Основы этой теории мы обязаны Георгу Кантору, который сделал это более или менее в одиночку и вопреки всему.

• Теория множеств как основа обеспечения предмета математики.Это утверждение отражает мейнстрим, и во многих книгах мы можем найти что-то вроде теории множеств - это основа математики .

• Теория множеств как поставщик общего способа рассуждений для различных областей математики. Это тесно связано со второй цепью, и выбранная аксиома является известным теоретико-множественным принципом этого типа.

Это рассуждение из теории множеств М. Поттера и ее философии сопровождается

История таких теорий насчитывает столетие... - и тем не менее, даже сейчас, , в литературе нет единого мнения о том, какую форму они должны принимать.

Заключение: Не существует общепризнанной теории множества одного , которую предпочитают математики, из которой мы могли бы вывести правильное определение множества. Вместо этого, в зависимости от области исследований и богатства результатов в этих областях, за основу берутся различных теорий множеств , таких как ZF, ZFC и т. Д.

Теория множеств сегодня:

Предположительно большая часть повседневной работы явно или косвенно основана на ZF , ZFC или несколько более слабой промежуточной версии.Но мы должны знать, что каждая из этих теорий множеств имеет как свои преимущества, так и недостатки.

У. Фельгнер пишет в Модели теории ZF-Set

Мы считаем, что аксиомы ZF правильно описывают наши интуитивные размышления о понятиях множеств. Выбранная аксиома ( AC ) интуитивно не так ясна, как другие аксиомы ZF , но мы научились использовать ее, потому что она кажется незаменимой при доказательстве математических теорем.С другой стороны ( AC ) имеет странных последствий , например, каждый набор может быть хорошо упорядочен , и мы не можем представить как хорошо упорядоченный набор действительных чисел.

Помимо теоремы о хорошем порядке (WOT) есть много других эквивалентов AC, которые также должны быть приняты.

Исторические аспекты вокруг AC:

Некоторым математикам было трудно принять решение за или против этой аксиомы, например: ван дер Варден:

В 1930 году ван дер Варден опубликовал свою книгу « Современная алгебра », в которой подробно описал захватывающие новые применения этой аксиомы.Книга была очень влиятельной, предоставив Цорну и Тейхмюллеру испытательную площадку для их выбора, но голландские коллеги ван дер Вардена убедили его отказаться от аксиомы во втором издании 1937 года. Он так и сделал, но в результате получилась ограниченная версия абстрактного алгебра вызвала такой решительный протест со стороны его коллег-алгебраистов, что он был вынужден восстановить эту аксиому и все ее следствия в третьем издании 1950 г. (P. Maddy, 1988)

Х. Херрлих резюмирует историческое развитие в своем Аксиома выбора

После того, как Гёдель (1938) доказал относительную последовательность Аксиомы выбора, построив в рамках данной модели ZF модель ZFC , сторонники AC получили поддержку.Большинство современных учебников принимают AC как должное, а подавляющее большинство метематиков свободно используют AC .

Однако после того, как Коэн (1963) доказал относительную последовательность отрицания AC и, более того, предоставил метод, называемый форсированием , для производства множества моделей ZF , которые имеют или не имеют широкого Диапазон указанных свойств, все большее число математиков начали исследовать мир ZF , заменяя AC множеством возможных альтернатив, иногда просто ослабляя AC , а иногда заменяя AC аксиомами, которые ему противоречат.

И в отношении истинного определения наборов он продолжает

Вся эта работа демонстрирует, насколько полезны или удобны такие аксиомы, как AC и его возможные альтернативы. Но вопрос об истинности AC не затрагивается, и первая проблема Гильберта остается без ответа. Вполне возможно, даже вероятно, что она никогда не будет решена, несмотря на оптимистический лозунг Гильберта, выраженный в его парижской лекции: в математике нет ignorabimus .

Плюсы и минусы AC:

Книга Херрлиха - интересный источник информации о AC. Он представляет множество эквивалентов AC и некоторые концепции, связанные с AC. Основная часть - это главы Disasters without Choice , состоящие из 11 разделов, организованных по математическим дисциплинам, и глава Disaster with Choice , состоящая из 2 разделов. Чтобы получить представление о таких последствиях, я выберу два-три простых и понятных примера:

Из раздела 4: Бедствия без выбора

Раздел 4.4. Катастрофы в алгебре I: векторные пространства

В ZFC каждое векторное пространство однозначно, с точностью до изоморфизма, определяется одним кардинальным числом, его размерностью. Каждый из двух фундаментальных результатов, которые вместе позволяют нам связать размерность с данным векторным пространством, плохо работает в ZF .

Катастрофа 4.42: Может произойти следующее:

1. Векторные пространства могут не иметь оснований
2. Векторные пространства могут иметь две базы разной мощности.

Теорема 4.44: Эквивалент:

1. Каждое векторное пространство имеет основу
2. AC

---

Раздел 4.6: Катастрофы в элементарном анализе: реальность и преемственность

Катастрофа 4.53: может произойти следующее

1. $ \ mathbb {R} $ может не быть Фреше, т.е. не каждая точка накопления $ x $ подмножества A может быть достижима последовательностью $ (a_n) $ в $ A $.

... (впереди еще 9)

Хотя Аксиома Выбора ответственна за множество прекрасных результатов, она в равной степени ответственна за существование нескольких ужасных чудовищ - нежелательных и ненужных.

Из раздела 5: Катастрофы с выбором

Раздел 5.1: Катастрофы в элементарном анализе:

Определение 5.1: Уравнение $ f (x + y) = f (x) + f (y) $ называется уравнением Коши

Рассмотрим функцию $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, которая удовлетворяет уравнению Коши для всех действительных $ x $ и $ y $. Тогда легко увидеть, что

• $ f (r \ cdot x) = r \ cdot f (x) $ для всех рациональных $ r $ и вещественных $ x $, т.е. $ f $ является $ \ mathbb {Q} $ - линейным.

В частности:

• $ f (r) = f (1) \ cdot r $ для всех рациональных $ r $.

И непрерывность $ f $ будет означать

• $ f (x) = f (1) \ cdot x $ для всех $ x \ in \ mathbb {R} $

Существуют ли решения уравнения Коши, которые не могут быть непрерывными? Ни один из них никогда не был построен, и в ZF его никогда не будет. Однако Аксиома выбора гарантирует существование таких монстров; Хуже того, при AC существует гораздо больше нежелательных решений уравнения Коши, чем желательных:

Катастрофа 5.{\ aleph_0})} $ прерывистые решения $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $ уравнения Коши.

Заключение: Хорошо знать, что у ZF и ZFC есть свои преимущества и недостатки, и вполне вероятно, что это справедливо и для других теорий множеств. Итак, не существует истинного определения теории множеств как основы для истинного определения множества.

Две подсказки:

Классический источник для чтения и размышлений о множествах - это Naive Set Theory П.Халмос. Предположительно, он охватывает большинство аспектов, связанных с наборами, которые могут вам понадобиться для повседневной работы.

С другой стороны, если вам интересно, какие функции в реальном анализе могут быть определены или не определены в соответствии с лежащими в основе теориями множеств, вы можете вкратце взглянуть на Странные функции в реальном анализе .

13.1: Язык множеств и функций

Всю математику можно рассматривать как изучение отношений между коллекциями объектов с помощью строгих рациональных аргументов.Чаще всего шаблоны в этих коллекциях и их отношения более важны, чем природа самих объектов. Сила математики во многом связана с выводом на первый план закономерностей и абстрагированием от «реальной» природы объектов. В математике коллекции обычно называются наборами, а объекты - элементами набора. Функции являются наиболее распространенным типом отношений между множествами и их элементами, а основными объектами изучения в Анализе являются функции, имеющие отношение к множеству действительных чисел.Поэтому важно развить хорошее понимание множеств и функций и знать словарь, используемый для определения множеств и функций, а также для обсуждения их свойств.

Набор - это неупорядоченный набор отдельных объектов, которые мы называем его элементами. Множество \ (A \) однозначно определяется своими элементами. Если объект a является элементом множества \ (A \), мы пишем \ (a \ in A \) и говорим, что a принадлежит \ (A \) или что \ (A \) содержит a. Отрицание этого утверждения записывается как \ (a \ not \ in A \), i.е., a не является элементом \ (A. \). Обратите внимание, что оба утверждения не могут быть истинными одновременно

Если \ (A \) и \ (B \) являются наборами, они идентичны (это означает, что один и тот же набор), который мы пишем как \ (A = B \), если они имеют точно такие же элементы. Другими словами, \ (A = B \) тогда и только тогда, когда для всех \ (a \ in A \) мы имеем \ (a \ in B \), и для всех \ (b \ in B \) имеем \ (b \ in A. \) Эквивалентно \ (A \ neq B \) тогда и только тогда, когда есть различие в их элементах: существует \ (a \ in A \) такое, что \ (a \ not \ in B \) или существует \ (b \ in B \) такое, что \ (b \ not \ in A.\)

Пример B.1.1. Начнем с простейших примеров наборов.

1. Пустой набор (он же нулевой набор ) звучит так: набор без элементов. Обычно мы обозначаем его \ (\ emptyset \) или иногда \ (\ {~ \} \). Пустое множество \ (\ emptyset \) однозначно определяется тем свойством, что для всех \ (x \) мы имеем \ (x \ not \ in \ emptyset \). Ясно, что есть ровно одно пустое множество.
2. Далее идут синглтоны .Синглтон - это набор, состоящий ровно из одного элемента. Если этот элемент - \ (x \), мы часто пишем синглтон, содержащий \ (x \), как \ (\ {x \} \). В разговорной речи "синглтон \ (x \)" на самом деле означает набор \ (\ {x \} \), и его всегда следует отличать от элемента \ (x: x \ neq \) {\ (x \)} . Набор может быть элементом другого набора, но никакой набор не является элементом самого себя (точнее, мы принимаем это как аксиому). Например, \ (\ {\ {x \} \} \) - это синглтон, единственным элементом которого является синглтон \ (\ {x \} \). В частности, у нас также есть \ (\ {x \} \ neq \ {\ {x \} \}.\)
3. Один из стандартных способов обозначения множеств - перечисление их элементов. Например, набор \ (\ {\ alpha, \ beta, \ gamma \} \) содержит первые три строчные буквы греческого алфавита. Набор полностью определяется тем, что есть в списке. Порядок, в котором перечислены элементы, значения не имеет. Итак, у нас есть \ (\ {\ alpha, \ gamma, \ beta \} = \ {\ gamma, \ beta, \ alpha \} = \ {\ alpha, \ beta, \ gamma \}, \) и т. Д. набор не может содержать один и тот же элемент дважды (элементы различны) единственное разумное значение чего-то вроде \ (\ {\ alpha, \ beta, \ alpha, \ gamma \} \) состоит в том, что это то же самое, что и \ (\ { \ альфа, \ бета, \ гамма \} \).Поскольку \ (x \ neq \ {x \}, \ {x, \ {x \} \} \) - это набор из двух элементов. Все можно рассматривать как элемент набора, и от элементов набора не требуется никакого отношения. Например, слово «яблоко», элемент уран и планета Плутон могут быть тремя элементами одного множества. Нет никаких ограничений на количество различных наборов, которым может принадлежать данный элемент, за исключением правила, согласно которому набор не может быть элементом самого себя.
4. Количество элементов в наборе может быть бесконечным.Например, \ (\ mathbb {Z}, \ mathbb {R}, \) и \ (\ mathbb {C} \) обозначают наборы всех целых, действительных и комплексных чисел соответственно. Необязательно, чтобы мы могли перечислить все элементы.

При представлении нового набора (нового для целей нашего обсуждения) очень важно дать ему однозначное определение. Не требуется, чтобы из данного определения множества \ (A \) было легко определить, какие элементы \ (A \) или даже сколько их, но должно быть ясно, что в принципе , есть однозначный и однозначный ответ на каждый вопрос вида «является ли \ (x \) элементом \ (A \)?».Есть несколько распространенных способов определения множеств. Вот несколько примеров.

Пример B.1.2.
1. Самый простой способ - это обобщение нотации списков до бесконечных списков, которые можно описать шаблоном. Например, набор положительных целых чисел \ (\ mathbb {N} = \ {1, 2, 3, \ ldots \}. \) Список может быть двунаправленным, как в наборе всех целых чисел \ ( \ mathbb {Z} = \ {\ ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ ldots \}. \)
Обратите внимание на использование тройных точек \ (\ ldots \) ​​для обозначения продолжения списка .
2. Так называемая нотация построителя множеств дает больше возможностей для описания принадлежности к множеству. Например, множество всех четных целых чисел, часто обозначаемых \ (2 \ mathbb {Z} \), определяется как

\ [2 \ mathbb {Z} = \ {2a ~ | ~ a \ in \ mathbb {Z } \}. \]

Вместо вертикальной черты часто используется |, двоеточие:,. Например, открытый интервал действительных чисел строго между \ (0 \) и \ (1 \) определяется как

\ [(0, 1) = \ {x \ in \ mathbb {R}: 0

Определение B.2.1. Пусть \ (A \) и \ (B \) - множества. \ (B \) является подмножеством \ (A \), обозначаемым \ (B \ subset A \), тогда и только тогда, когда для всех \ (b \ in B \) мы имеем \ (b \ in A. \ ) Если \ (B \ subset A \) и \ (B \ neq A, \), мы говорим, что \ (B \) является собственным подмножеством из \ (A. \)

Если \ (B \ subset A \), также говорят, что \ (B \) содержится в \ (A \), или что \ (A \) содержит \ (B \), что иногда обозначается как \ (A \ supset B. \). отношение \ (\ subset \) называется включением . Если \ (B \) - собственное подмножество \ (A \), включение называется строгим.Чтобы подчеркнуть, что включение не обязательно является строгим, можно использовать обозначение \ (B \ substeq A \), но обратите внимание, что его математический смысл идентичен \ (B \ subset A. \) Строгое включение иногда обозначается как \ (B \ subsetneq A \), но это встречается реже.

Пример B.2.2. Легко проверить следующие отношения между множествами:

1. У нас есть \ (\ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C } \), и все эти включения строгие.
2. Для любого набора \ (A \) у нас есть \ (\ emptyset \ subset A \) и \ (A \ subset A. \)
3. \ ((0, 1] \ subset (0, 2). \)
4. Для \ (0

В дополнение к При непосредственном построении наборов наборы также могут быть получены из других наборов с помощью ряда стандартных операций.Следующее определение вводит основные операции взятия объединения , пересечения и разности наборов .

Определение B.2.3 . Пусть \ (A \) и \ (B \) - множества. Тогда

1. Объединение \ (A \) и \ (B \), обозначаемое \ (A \ cup B \), определяется как \ [A \ cup B = \ {x ~ | ~ x \ в A {\ it {~ или ~}} x \ in B \}. \]
2. Пересечение точек \ (A \) и \ (B \), обозначенное \ (A \ cap B \), определяется как \ [A \ cap B = \ {x ~ | ~ x \ in A {\ it {~ and ~}} x \ in B \}. \]
3. Множество разности \ (B \ ) из \ (A \), обозначаемый \ (A \ setminus B \), определяется как \ [A \ setminus B = \ {x ~ | ~ x \ in A {\ it {~ и ~}} x \ не \ in B \}.c. \)
4. ( относительных дополнений ) \ (A \ setminus (B \ cup C) = (A \ setminus B) \ cap (A \ setminus C) \) и \ (A \ setminus (B \ cap C) = (A \ setminus B) \ cup (A \ setminus C). \)

Чтобы познакомиться с основными свойствами множеств и основными операциями, если множества, это хорошее упражнение для написания доказательств. для трех свойств, указанных в теореме.

Так называемое декартово произведение наборов - мощный и повсеместный метод построения новых наборов из старых.2 = \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \). Не случайно \ (x \) и \ (y \) в паре \ ((x, y) \) называются декартовыми координатами точки \ ((x, y) \) в самолет.

В этом разделе мы вводим два важных типа отношений: отношения порядка и отношения эквивалентности. Отношение \ (R \) между элементами набора \ (A \) и элементами набора \ (B \) является подмножеством их декартова произведения: \ (R \ subset A \ times B. \) Когда \ (A = B \), мы также называем \ (R \) просто отношением на \ (A \).

Пусть \ (A \) - множество, а \ (R \) - отношение на \ (A \). Тогда

• \ (R \) называется , отражающим , если для всех \ (a \ in A, (a, a) \ in R. \)
• \ (R \) называется симметричным , если для все \ (a, b \ in A, \) если \ ((a, b) \ in R \), то \ ((b, a) \ in R. \)
• \ (R \) называется антисимметричным , если для всех \ (a, b \ в A \) таких, что \ ((a, b) \ in R \) и \ ((b, a) \ in R, a = b. \)
• \ ( R \) называется транзитивным , если для всех \ (a, b, c \ in A \) таких \ ((a, b) \ in R \) и \ ((b, c) \ in R \), имеем \ ((a, c) \ в R.\)

Определение B.3.1. Пусть \ (R \) - отношение на множестве \ (A \). \ (R \) является отношением порядка , если \ (R \) рефлексивно, антисимметрично и транзитивно . \ (R \) является отношением эквивалентности, если \ (R \) на рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Понятие подмножества является примером отношения порядка. Чтобы увидеть это, сначала определите набор мощности набора \ (A \) как набор всех его подмножеств. Его часто обозначают \ ({\ cal {P}} (A).\) Итак, для любого множества \ (A, {\ cal {P}} (A) = \ {B: B \ subset A \}. \) Отношение включения определяется как отношение \ (R \) установив

\ [R = \ {(B, C) \ in {\ cal {P}} (A) \ times {\ cal {P}} (A) ~ | ~ B \ subset C \} \]

Важным отношениям, таким как отношение подмножества, дается удобное обозначение формы \ (a b \) для обозначения \ ((a, b) \ in R. \) Символ отношения включения это \ (\ subset \).

Предложение B.3.2. Включение - это отношение заказа.Явно

1. ( соответствует ) Для всех \ (B \ in {\ cal {P}} (A), B \ subset B. \)
2. ( антисимметричный ) Для всех \ (B, C \ in {\ cal {P}} (A), \) , если \ (B \ subset C \), и \ (C \ subset B \), , то \ (B = C . \)
3. ( переходный ) Для всех \ (B, C, D \ in {\ cal {P}} (A), \) , если \ (B \ subset C \) и \ (C \ subset D, \) , затем \ (B \ subset D.{-1} = \ {(b, a) \ in B \ times A ~ | ~ (a, b) \ in R \}. \]

   Пусть \ (A \) и \ (B \) - множества. Функция с областью \ (A \) и доменом \ (B \), обозначенная \ (f: A \ rightarrow B \), является соотношением между элементами \ (A \) и \ ( B \), удовлетворяющие свойствам: для всех \ (a \ in A, \) существует единственное \ (b \ in B \) такое, что \ ((a, b) \ in f \). Символ, используемый для обозначения функции как отношения, - это стрелка: \ ((a, b) \ in f \) записывается как \ (a \ rightarrow b \) (часто также \ (a \ mapsto b \)).Нет необходимости и немного громоздко напоминать себе, что функции - это особый вид отношений, и все время используются более удобные обозначения: \ (f (a) = b. \) Если \ (f \) равно тогда функция, которую мы имеем, по определению \ (f (a) = b \) и \ (f (a) = c \) влечет \ (b = c \). Другими словами, для каждого \ (a \ in A \) существует ровно одно \ (b \ in B \) такое, что \ (f (a) = b. \) \ (B \) называется изображением . под \ (f \). Когда \ (A \) и \ (B \) представляют собой наборы чисел, \ (a \) иногда называют аргументом функции, а \ (b = f (a) \) часто называют значение из \ (f \) в \ (a \).

   Требование наличия изображения \ (b \ in B \) для всех \ (a \ in A \) иногда ослабляется в том смысле, что область определения функции является, иногда явно не определенным, подмножеством \ (А \). Однако важно помнить, что функция не определяется должным образом, если мы также не указали ее домен.

   Когда мы рассматриваем график функции, мы полагаемся на определение функции как отношения. График \ (G \) функции \ (f: A \ rightarrow B \) - это подмножество \ (A \ times B \), определенное как

   \ [G = \ {(a, f (a)) ~ | ~ а \ в А \}.{-1} (b) = \ emptyset \) тогда и только тогда, когда \ (b \ in B \ setminus range (f). \)

   Функции различных видов широко используются в математике, и был разработан большой словарный запас, некоторые из что является избыточным. Термин карта часто используется как альтернатива функции, а когда домен и кодомен совпадают, термин преобразование часто используется вместо функции. Существует большое количество терминов для функций в определенном контексте со специальными свойствами. В следующем определении приведены три основных свойства.

   Определение B.4.1. Пусть \ (f: A \ rightarrow B \) будет функцией. Затем мы вызываем \ (f \)

   1. injective (\ (f \) это инъекция ), если \ (f (a) = f (b) \) подразумевает \ (a = b \). Другими словами, никакие два элемента домена не имеют одинакового изображения. Инъективная функция также называется взаимно однозначной .
   2. сюръективно (\ (f \) - это сюръекция ), если \ (range (f) = B. \) Другими словами, каждый \ (b \ in B \) является изображением по крайней мере одного \ (а \ в А \).Такая функция также называется на .
   3. биективное соответствие (\ (f \) является биекцией ), если \ (f \) одновременно инъективно и сюръективно, то есть взаимно однозначно и на . Это означает, что f дает взаимно однозначное соответствие между всеми элементами \ (A \) и всеми элементами \ (B \).

   Пусть \ (f: A \ rightarrow B \) и \ (g: B \ rightarrow C \) - две функции, так что область значений \ (f \) совпадает с областью определения \ (g \). Тогда композиция '\ (g \) после \ (f \)', обозначенная \ (g \ circ f \), является функцией \ (g \ circ f: A \ rightarrow C, \), определяемой \ (а \ mapsto g (е (а)).{-1}. \]

   Докажите это предложение в качестве упражнения.

   Авторы

   Версии этого учебника в твердом и мягком переплете доступны на сайте WorldScientific.com.

   .